レピュニット擬き
2～9の後に1が続く数で素数になるものを調べてみたら、素数になるのは、1が100個以下の場合で
2の後に1が2,3,12,18,23,57個
3の後に1が1,2,5,10,11,13,34,47,52,77,88個
4の後に1が1,3,13,25,72個
5の後に1が5,12,15,84個
6の後に1が1,5,7,25,31個
7の後に1が1,7,55個
8の後に1が2,3,26個
9の後に1が2,5,20,41,47,92個
となりました。7と8の場合が少ないので、7と8について1が1000個以下の場合まで調べてみると、
7については1が1,7,55個の他は素数は現れず、8については1が110,141,474,902個の場合も素数になりました。
ただし、474個の場合と902個の場合は、Online MAGMA calculatorでは決定的素数判定法であるECPP法で計算が終わらなかったので、確率的素数です。
さらに7について1が6000個以下の場合まで調べましたが、1が1,7,55個の他は素数になりませんでした。
レピュニット数の数字を1つだけ別の数に置き換えた数で、素数となるものをニアレピュニット素数(Near Repunit Prime)というそうです。現在見つかっている最大のニアレピュニット素数（確率的素数）は2014年12月に発見された(64*10^762811−1)/9=711111...111だそうです。
それらは数列サイト（https://oeis.org/Axxxxxx）の以下の項目にありますね。
21111…111が素数: A056700
31111…111が素数: A056704
41111…111が素数: A056706
51111…111が素数: A056713
61111…111が素数: A056717
71111…111が素数: A056719
81111…111が素数: A056722
91111…111が素数: A056726
また、関連するものは以下の通りです。
13333…333が素数: A056698
23333…333が素数: A056701
43333…333が素数: A056707
53333…333が素数: A056714
73333…333が素数: A056720
83333…333が素数: A056723
17777…777が素数: A089147
27777…777が素数: A056702
37777…777が素数: A056705
47777…777が素数: A056708
57777…777が素数: A056715
67777…777が素数: A056718
87777…777が素数: A056724
97777…777が素数: A056727
19999…999が素数: A002957
29999…999が素数: A056703
49999…999が素数: A056712
59999…999が素数: A056716
79999…999が素数: A056721
89999…999が素数: A056725
ちょうど今、これらの未開拓な部分について計算しているところです。
17777…777は一つ見つけましたので、先月追加しました。
あと、Pari/GPでは4500桁ぐらいまでは決定的素数判定法で素数かどうか調べられます。
ただし、4500桁となるとメモリが12GB、時間が（最近のPCで）15時間程度必要です。
私のPCはメモリが16GBしかありませんのでこの程度が限界ですが、
さらにメモリがあれば5000桁ぐらいまではいけると思います（ただし数日～1週間ぐらいかかります）。
そんな感じなので、8111…111の474個、902個はPari/GPでは1分程度で決定的素数と判定できます。
