フィボナッチ関連の探索
n=1,2,3,･･･が
フィボナッチ数列{fn};1,1,2,3,5,8,13,21,･･･
をx^nの係数となる
F(x)=∑[n=1,∞]fn*x^n
で定義される関数F
及び
変形フィボナッチ数列{gn};1,4,5,9,14,23,37,･･･
をx^nの係数とする
G(x)=∑[n=1,∞]gn*x^n
で定義された関数Gであるとする。
この時
F(√2-1)=1
F(1/2)=2
F((√13-2)/3)=3
･････
G((√5-1)/4)=1
G(1/2)=2
G(√22-2)/6)=3
･････
などが成立するようになる。
そこで
(1)F(x)=4,5,6,7,8,9
がそれぞれ成り立つ各xに対応する値を求め、
またxが有理数でF(x)が10000以下の正の整数値を取り得るものは何個あるでしょうか？
(2)G(x)=4,5,6,7,8,9
がそれぞれ成り立つ各xに対応する値を求め、
またxが有理数でG(x)が1000000以下の正の整数値を取り得るものは何個あるでしょうか？
問題の解釈とプログラムが正しければ、ですが
F(x)=x/(1-x-x^2) （|x|＜1）なので
F^(-1)(y)=(-y-1+√(5y^2+2y+1))/(2y) （∵|x|＜1）
これに4～9を代入して
F^(-1)(4)=(-5+√89)/8
F^(-1)(5)=(-3+√34)/5
F^(-1)(6)=(-7+√193)/12
F^(-1)(7)=(-4+√65)/7
F^(-1)(8)=(-9+√337)/16
F^(-1)(9)=(-5+√106)/9
「xが有理数でF(x)が10000以下の正の整数値を取る」
⇔「yが10000以下の正の整数で5y^2+2y+1が平方数」
「yが10000以下の正の整数で5y^2+2y+1が平方数」を満たすyは
5個(2,15,104,714,4895)なので
「xが有理数でF(x)が10000以下の正の整数値を取る」を満たすxは
5個(1/2,3/5,8/13,21/34,55/89)
G(x)=(1+3x)x/(1-x-x^2) （|x|＜1）なので（G(1/2)=5, G(2/5)=2では？）
G^(-1)(y)={-y-1±√(5y^2+14y+1)}/(2(y+3)) （y＜2）
G^(-1)(y)={-y-1+√(5y^2+14y+1)}/(2(y+3)) （y≧2）
これに4～9を代入して
G^(-1)(4)=(-5+√137)/14
G^(-1)(5)=(-3+7)/8=1/2
G^(-1)(6)=(-7+√265)/18
G^(-1)(7)=(-4+√86)/10
G^(-1)(8)=(-9+√433)/22
G^(-1)(9)=(-5+√133)/12
「xが有理数でG(x)が1000000以下の正の整数値を取る」
⇔「yが1000000以下の正の整数で5y^2+14y+1が平方数」
「yが1000000以下の正の整数で5y^2+14y+1が平方数」を満たすyは
14個(2,5,21,42,152,296,1050,2037,7205,13970,49392,95760,338546,656357)なので
「xが有理数でG(x)が1000000以下の正の整数値を取る」を満たすxは
14個(2/5,1/2,7/12,3/5,19/31,8/13,50/81,21/34,131/212,55/89,343/555,144/233,898/1453,377/610)
出題ミス（タイプミス)
G(2/5)=2 でした。
(G(1/2)=5）
このミスにも拘わらず
F(x)<10000での5個
G(x)<1000000での14個のxの有理数もすべて完璧に正解です。
上の5個がフィボナッチ数の有理数で構成されていくのに比べ
下の14個は偶数番目；1/2,3/5,8/13,21/34,55/89,144/233,377/610 がフィボナッチ数での有理数
そして奇数番目；2/5,7/12,19/31,50/81,131/212,343/555,898/1453 も疑似フィボナッチ数での有理数
で構成されるのが面白いです。
母関数から一気に逆関数を考えることが自分の方法と異なり、この手が最も効率よく進められることを
教えられました。
F(x)＜10000の5個の数列 2,15,104,714,…は A081018 にありますね。
よって問題がF(x)＜1000000000000000000000000000000000000000000000
であっても容易に答えられます（この場合54個）。
G(x)の方の数列 2,5,21,42,152,… はOEISにありませんが、
漸化式を立てれば同様に巨大数まででも答えられると思います。
ちなみに
前者の漸化式は a[1]=2, a[2]=15, a[n+2]=7a[n+1]-a[n]+1
後者の漸化式は a[1]=2, a[2]=5, a[3]=21, a[4]=42, a[n+4]=7a[n+2]-a[n]+7
