😊出会いの泉😊

「20通り」の数えあげで、「左に1本、中に0本、右に2本」が数えられていない気がします。
私の勘違いでしたらご容赦下さい。

自分もあみだくじについていくつかの投稿をしていたのを記憶していたので調べてみたら
私の備忘録中の
数学・・・その他(数学についての雑学を・・・)
思い通りのあみだくじを作る方法　(右列上から2番目)
に関連記事がまとめられています。

懐かしかったので自分でも、もう一度整理してみました。
縦線が4本で横線がn本では(A088305)
gp > a(n)=(((3+sqrt(5))/2)^(n+1)-((3-sqrt(5))/2)^(n+1))/sqrt(5)
gp > for(n=1,10,print(n";"round(a(n))))
1;3
2;8
3;21
4;55
5;144
6;377
7;987
8;2584
9;6765
10;17711


縦線が5本で横線がn本では(A261547)
gp > b(n)=(3^(n+1)-1)/2
gp > for(n=1,10,print(n";"b(n)))
1;4
2;13
3;40
4;121
5;364
6;1093
7;3280
8;9841
9;29524
10;88573


縦線が6本で横線がn本では(A005021)
c(n)={S=[];}for(i=0,n,for(j=0,n-i,for(k=0,n-i-j,\
S=concat(S,[binomial(i+j,j)*binomial(j+k,k)*binomial(n+1-j,n-(i+j+k))]))));vecsum(S)
gp > for(n=1,10,print(n";"c(n)))
1;5
2;19
3;66
4;221
5;728
6;2380
7;7753
8;25213
9;81927
10;266110

なお縦棒が6本での横軸n本でのあみだくじの本数がA005021での解説では
P_6と呼ばれる道（直線上６点A、B、C、D、E、F が並んでいる。）を、Aから出発し、
2*n+5(歩)にてFの地点に到着する酔歩のコースが何通りできるか？ 　　に同じとある。
よって横棒2本では2*2+5=9歩で進む実例を構成すると
1;[A, B, A, B, A, B, C, D, E, F]
2;[A, B, A, B, C, B, C, D, E, F]
3;[A, B, A, B, C, D, C, D, E, F]
4;[A, B, A, B, C, D, E, D, E, F]
5;[A, B, A, B, C, D, E, F, E, F]
6;[A, B, C, B, A, B, C, D, E, F]
7;[A, B, C, B, C, B, C, D, E, F]
8;[A, B, C, B, C, D, C, D, E, F]
9;[A, B, C, B, C, D, E, D, E, F]
10;[A, B, C, B, C, D, E, F, E, F]
11;[A, B, C, D, C, B, C, D, E, F]
12;[A, B, C, D, C, D, C, D, E, F]
13;[A, B, C, D, C, D, E, D, E, F]
14;[A, B, C, D, C, D, E, F, E, F]
15;[A, B, C, D, E, D, C, D, E, F]
16;[A, B, C, D, E, D, E, D, E, F]
17;[A, B, C, D, E, D, E, F, E, F]
18;[A, B, C, D, E, F, E, D, E, F]
19;[A, B, C, D, E, F, E, F, E, F]

と計算の通り19パターン構成可能なので
縦棒が5本である時は
P_5と呼ばれる道（直線上5点A、B、C、D、E が並んでいる。）を、Aから出発し、
2*n+4(歩)にてEの地点に到着する酔歩のコースが何通りできるか？
と上のパターンを参考に
今度は2*2+4=8歩で進み
1;[A, B, A, B, A, B, C, D, E]
2;[A, B, A, B, C, B, C, D, E]
3;[A, B, A, B, C, D, C, D, E]
4;[A, B, A, B, C, D, E, D, E]
5;[A, B, C, B, A, B, C, D, E]
6;[A, B, C, B, C, B, C, D, E]
7;[A, B, C, B, C, D, C, D, E]
8;[A, B, C, B, C, D, E, D, E]
9;[A, B, C, D, C, B, C, D, E]
10;[A, B, C, D, C, D, C, D, E]
11;[A, B, C, D, C, D, E, D, E]
12;[A, B, C, D, E, D, C, D, E]
13;[A, B, C, D, E, D, E, D, E]
の13通り（計算上一致)
がすぐに探すことができます。

だから縦棒4本のときは
P_4と呼ばれる道（直線上4点A、B、C、D が並んでいる。）を、Aから出発し、
2*n+3(歩)にてDの地点に到着する酔歩のコースが何通りできるか？
で処理され、横棒2本では7歩で進み
1;[A, B, A, B, A, B, C, D]
2;[A, B, A, B, C, B, C, D]
3;[A, B, A, B, C, D, C, D]
4;[A, B, C, B, A, B, C, D]
5;[A, B, C, B, C, B, C, D]
6;[A, B, C, B, C, D, C, D]
7;[A, B, C, D, C, B, C, D]
8;[A, B, C, D, C, D, C, D]
が見つかる。

ありがとうございます。
うっかり数え落としをしていた事が確認できました。
行きつ戻りつの順路数で数えられる理路はちゃんと確認できてませんが、Pythonでプログラムしてみて確かに書かれている場合な数が得られる事は分かりました。
次は記事にあった、縦棒8本横棒12本の場合に、あみだくじの行き先を場合わけして数える事が必要になります。
「行きつ戻りつ」を1と-1のリストで数え上げる事はできたので、あとはそのリストからあみだくじを復元して行き先を確認すれば良いのですが... あみだくじの「復元」はどのようにすれば良いでしょう？

縦8本で横棒n本のときの異なるあみだくじの引き方は
次の計算で与えられそうです。

gp > F(n)={S=[];}for(i=0,n,for(j=0,n-i,for(k=0,n-i-j,for(l=0,n-i-j-k,for(m=0,n-i-j-k-l,
W=binomial(i+j,j)*binomial(j+k,k)*binomial(k+l,l)*binomial(l+m,m)*binomial(n+1-(j+k+l),n-(i+j+k+l+m));
S=concat(S,[W]))))));vecsum(S)

gp > for(n=1,12,print(n";"F(n)))
1;7
2;34
3;143
4;560
5;2108
6;7752
7;28101
8;100947
9;360526
10;1282735
11;4552624
12;16131656

OEISで検索するとA005023がヒットしました。
従って求めるべき値は16131656(通り)では？

私も酔歩とあみだくじを対応させようと試みたのですが総数で一致しか言えないです。

対応の仕方はこうじゃないか？というものに思い至りました。如何でしょう。
あとは仕方ないので, Pythonで一つ一つ数えるしか...

以下の考えはどうでしょうか？

n本の縦線にm本の横線を引く場合、
・項数m
・各項の値は1以上n-1以下
・任意の連続する2項について、a[i+1] > a[i]-2
という条件を満たす数列と一対一に対応すると思います。
そして、そのような数列の個数は、最後の項が何なのかで分類して漸化式が作れると思います。

あみだくじで縦線がn本(n≧3)で横線がk本での作り方Tn(k)を漸化式で構成すると
T3(k)=if(k==1,2,2*memorize(T3,k-1))
T4(k)=if(k==1,3,k==2,8,3*memorize(T4,k-1)-binomial(2,2)*memorize(T4,k-2))
T5(k)=if(k==1,4,k==2,13,4*memorize(T5,k-1)-binomial(3,2)*memorize(T5,k-2))
T6(k)=if(k==1,5,k==2,19,k==3,66,5*memorize(T6,k-1)-binomial(4,2)*memorize(T6,k-2)+binomial(3,3)*memorize(T6,k-3))
T7(k)=if(k==1,6,k==2,26,k==3,100,6*memorize(T7,k-1)-binomial(5,2)*memorize(T7,k-2)+binomial(4,3)*memorize(T7,k-3))
T8(k)=if(k==1,7,k==2,34,k==3,143,k==4,560,7*memorize(T8,k-1)-binomial(6,2)*memorize(T8,k-2)+binomial(5,3)*memorize(T8,k-3)-binomial(4,4)*memorize(T8,k-4))
T9(k)=if(k==1,8,k==2,43,k==3,196,k==4,820,8*memorize(T9,k-1)-binomial(7,2)*memorize(T9,k-2)+binomial(6,3)*memorize(T9,k-3)-binomial(5,4)*memorize(T9,k-4))
T10(k)=if(k==1,9,k==2,53,k==3,260,k==4,1156,k==5,4845,9*memorize(T10,k-1)-binomial(8,2)*memorize(T10,k-2)+binomial(7,3)*memorize(T10,k-3)-binomial(6,4)*memorize(T10,k-4)+binomial(5,5)*memorize(T10,k-5))
T11(k)=if(k==1,10,k==2,64,k==3,336,k==4,1581,k==5,6954,10*memorize(T11,k-1)-binomial(9,2)*memorize(T11,k-2)+binomial(8,3)*memorize(T11,k-3)-binomial(7,4)*memorize(T11,k-4)+binomial(6,5)*memorize(T11,k-5))

*スピードアップを計るためメモ化して処理しています。
縦の本数が多くなると初期値をいくつか集めないといけないのでこの辺が面倒か？

縦の本数
-3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11(本)
横の本数;で見て下さい。
1;2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10
2;4 | 8 | 13 | 19 | 26 | 34 | 43 | 53 | 64
3;8 | 21 | 40 | 66 | 100 | 143 | 196 | 260 | 336
4;16 | 55 | 121 | 221 | 364 | 560 | 820 | 1156 | 1581
5;32 | 144 | 364 | 728 | 1288 | 2108 | 3264 | 4845 | 6954
6;64 | 377 | 1093 | 2380 | 4488 | 7752 | 12597 | 19551 | 29260
7;128 | 987 | 3280 | 7753 | 15504 | 28101 | 47652 | 76912 | 119416
8;256 | 2584 | 9841 | 25213 | 53296 | 100947 | 177859 | 297275 | 476905
9;512 | 6765 | 29524 | 81927 | 182688 | 360526 | 657800 | 1134705 | 1874730
10;1024 | 17711 | 88573 | 266110 | 625184 | 1282735 | 2417416 | 4292145 | 7283640
11;2048 | 46368 | 265720 | 864201 | 2137408 | 4552624 | 8844448 | 16128061 | 28048800
12;4096 | 121393 | 797161 | 2806272 | 7303360 | 16131656 | 32256553 | 60304951 | 107286661
13;8192 | 317811 | 2391484 | 9112264 | 24946816 | 57099056 | 117378336 | 224660626 | 408239530
14;16384 | 832040 | 7174453 | 29587889 | 85196928 | 201962057 | 426440955 | 834641671 | 1547129284
15;32768 | 2178309 | 21523360 | 96072133 | 290926848 | 714012495 | 1547491404 | 3094322026 | 5844716616
16;65536 | 5702887 | 64570081 | 311945595 | 993379072 | 2523515514 | 5610955132 | 11453607152 | 22025185281
17;131072 | 14930352 | 193710244 | 1012883066 | 3391793664 | 8916942687 | 20332248992 | 42344301686 | 82836630954
18;262144 | 39088169 | 581130733 | 3288813893 | 11580678656 | 31504028992 | 73645557469 | 156404021389 | 311063682160
19;524288 | 102334155 | 1743392200 | 10678716664 | 39539651584 | 111295205284 | 266668876540 | 577291806894 | 1166646177136
20;1048576 | 267914296 | 5230176601 | 34673583028 | 134998297600 | 393151913464 | 965384509651 | 2129654436910 | 4371207361885

まだ何の検証もしませんが... Python でプログラムして数えた分布がこうなりました。
1282735は総数の筈ですが皆さんの数値と合ってないような気がします...

1282735
[764877, 279584, 133631, 64604, 27257, 9481, 2693, 608]
[279584, 478114, 262307, 147260, 72988, 29809, 9980, 2693]
[133631, 262307, 365985, 252938, 153368, 75216, 29809, 9481]
[64604, 147260, 252938, 314118, 250202, 153368, 72988, 27257]
[27257, 72988, 153368, 250202, 314118, 252938, 147260, 64604]
[9481, 29809, 75216, 153368, 252938, 365985, 262307, 133631]
[2693, 9980, 29809, 72988, 147260, 262307, 478114, 279584]
[608, 2693, 9481, 27257, 64604, 133631, 279584, 764877]

お騒がせしました。（編集のパスワードを間違って入れたようで訂正できないので重ねての投稿となり申し訳ありません）

Pythonで組んだものはなかなか処理が終わらないので
Claudiにお願いしてJuliaに書き直して貰って実行するとそこそこの時間で結果が出ました。
--start---------------------------------------
8 12
--Ans-------------------------------------------
16131656
[9188341, 3508269, 1778834, 939616, 451633, 184261, 63000, 17702]
[3508269, 5568480, 3238722, 1961381, 1086206, 507952, 197646, 63000]
[1778834, 3238722, 4168532, 3074842, 2048283, 1130230, 507952, 184261]
[939616, 1961381, 3074842, 3550353, 3019342, 2048283, 1086206, 451633]
[451633, 1086206, 2048283, 3019342, 3550353, 3074842, 1961381, 939616]
[184261, 507952, 1130230, 2048283, 3074842, 4168532, 3238722, 1778834]
[63000, 197646, 507952, 1086206, 1961381, 3238722, 5568480, 3508269]
[17702, 63000, 184261, 451633, 939616, 1778834, 3508269, 9188341]
--end-------------------------------------------
この結果を使うと,
「統計リテラシーのない者がカモられる時代がやってきた」というダイアモンド・オンラインの記事
https://diamond.jp/articles/-/363654
にあるあみだくじの話の分布の部分を確認できます。

GAI さんへ
「if(k==1,2,2*memorize(T3,k-1))」
の読み方？が分かりません。これはもしかして
if k=1 then 2 else 2*T3(k-1) endif
ということでしょうか？

そうです。

教えていただいた「行きつ戻りつ」の行程があみだくじに対応するという知恵を使ってPythonで組んだけど遅すぎたのでClaudeにお願いしてJuliaに書き換えたもので無事に8筋12横棒のあみだくじでは, 何筋目を選んだ場合何筋目に至るかという数え上げはできましたが, 「m筋n横棒のあみだくじでi筋目を選んだ場合にj筋目に至るものは幾つあるか」は「どうすれば計算できるか」は解決していません。
何とか計算で済ませることはできないものでしょうか？

皆さんの助けを借りて少し取り組んだことをまとめたpdfをここに置いておきます。
まだ解決していませんのでもう少し助けて下さい。

https://amaryllis4u.wordpress.com/2025/04/26/標準的な「あみだくじ」である筋を選んだときに/

8筋12横棒のものを数列に対応付けます。

例えば
┣┫┃┣┫┃┃┃
┃┣┫┃┣┫┣┫
┣┫┃┣┫┃┃┃
┣┫┣┫┃┣┫┃
┃┃┃┣┫┃┣┫
という形のもので考えます。

これの横線に番号を
・基本的に左にあるものから右にあるものへ、同じ列内では上にあるものから下にあるものへ、順に番号を振る
・ただし、自分の上流に未採番のものがあれば、それが採番されるまで保留する
というルールで振っていきます。

・最左列の一番上のが1
・最左列真ん中は上流に未採番のものがあるので保留
・最左列下段は上流に未採番のものがあるので保留
・左から2列目のが2
・最左列真ん中は上流が採番されたのでこれが3
・最左列下段は上流が採番されたのでこれが4
以下略

各番号が左から何列目にあるかを見ると、
1,2,1,1,4,5,4,3,4,7,6,7
という数列になります。

この対応付けで、8筋12横棒のあみだくじと、1から7までの数を「どの項も前項-1以上」という条件で12項並べる数列が一対一に対応します。
よって、あみだくじの個数の代わりに後者を数えることにします。

1項並べる場合、
末尾が1のものが1個
末尾が2のものが1個
末尾が3のものが1個
末尾が4のものが1個
末尾が5のものが1個
末尾が6のものが1個
末尾が7のものが1個
合計7個

2項並べる場合、
末尾が1のものが1+1=2個
末尾が2のものが1+1+1=3個
末尾が3のものが1+1+1+1=4個
末尾が4のものが1+1+1+1+1=5個
末尾が5のものが1+1+1+1+1+1=6個
末尾が6のものが1+1+1+1+1+1+1=7個
末尾が7のものが1+1+1+1+1+1+1=7個
合計34個

3項並べる場合、
末尾が1のものが2+3=5個
末尾が2のものが2+3+4=9個
末尾が3のものが2+3+4+5=14個
末尾が4のものが2+3+4+5+6=20個
末尾が5のものが2+3+4+5+6+7=27個
末尾が6のものが2+3+4+5+6+7+7=34個
末尾が7のものが2+3+4+5+6+7+7=34個
合計143個

4項並べる場合、
末尾が1のものが5+9=14個
末尾が2のものが5+9+14=28個
末尾が3のものが5+9+14+20=48個
末尾が4のものが5+9+14+20+27=75個
末尾が5のものが5+9+14+20+27+34=109個
末尾が6のものが5+9+14+20+27+34+34=143個
末尾が7のものが5+9+14+20+27+34+34=143個
合計560個

あと8回分略

手計算でも数分で終わるレベルなので、いくらPythonが遅い言語といっても一瞬だと思います。

あ、対応関係もでしたか。
まあ、最後の番号ごとに「到着地点がどこになるものが何個」をわけて計上していけばどうとでもなると思います。

DD++さんへ
細かい解説をありがとうございます。
「行きつ戻りつ」でも仰る「項数m・各項の値は1以上n-1以下・任意の連続する2項について、a[i+1] > a[i]-2」となる有限数列を数える手法でも全部で何通りあるかを数えることはできて, コレまた仰る通り「全部で何通り」だけならいくら遅いPythonでも十分我慢できる時間で結果を教えてくれます。（そして多分Juliaならもっとプログラムも書き易くて早い）
そのレベルの話は（面白いですけど）まぁある意味解決済みです。

そうではなくて, 8筋12横棒のあみだくじで, 4筋目を選んだときに至る筋が3筋目になるようなあみだくじは何通りあるか? を数えたいのです。
でないと, 記事にあるような「分布」はシミュレーションでしか確認できませんから。
「ちゃんと数えてみたい」できれば「数式で（例え漸化式レベルでも）計算したい」という話です。

何とかならないでしょうか？

DD++さん
仰る通りで、「どうとでもなった」結果は得られているのですが... あまりにも機械頼りな数え上げなので...

ゴール位置も考えたい場合の計算例

3本目スタートの場合

1項並べる場合、
末尾が1のものが1個（3ゴールが1個）
末尾が2のものが1個（2ゴールが1個）
末尾が3のものが1個（4ゴールが1個）
末尾が4のものが1個（3ゴールが1個）
末尾が5のものが1個（3ゴールが1個）
末尾が6のものが1個（3ゴールが1個）
末尾が7のものが1個（3ゴールが1個）
合計7個（2ゴールが1個、3ゴールが5個、4ゴールが1個）

2項並べる場合、
末尾が1のものが1+1=2個（1ゴールが1個、3ゴールが1個）
末尾が2のものが1+1+1=3個（2ゴールが1個、3ゴールが1個、4ゴールが1個）
末尾が3のものが1+1+1+1=4個（2ゴールが1個、3ゴールが1個、4ゴールが2個）
末尾が4のものが1+1+1+1+1=5個（2ゴールが1個、3ゴールが3個、5ゴールが1個）
末尾が5のものが1+1+1+1+1+1=6個（2ゴールが1個、3ゴールが4個、4ゴールが1個）
末尾が6のものが1+1+1+1+1+1+1=7個（2ゴールが1個、3ゴールが5個、4ゴールが1個）
末尾が7のものが1+1+1+1+1+1+1=7個（2ゴールが1個、3ゴールが5個、4ゴールが1個）
合計34個（1ゴールが1個、2ゴールが6個、3ゴールが20個、4ゴールが6個、5ゴールが1個）

例えば末尾が4のものの場合、1つ横線が少ないやつの末尾5以下を全部合計してから、ゴール4のものとゴール5のものの個数を入れ替えるという感じですね。

最近C++によるプログラミングの勉強を始めたので、ご要望のものを一瞬で出力するコードを書いてみました。
……掲示板にコード丸ごと載せちゃって大丈夫かな？
標準入力からnとmを入力してください。
n≧3のみ対応、また結果が2^63を超えるとオーバーフローすることには対処を放棄しています。
Pythonで実行したければAIにでも翻訳してもらってください。

-----
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main () {

int n, m;
cin >> n >> m;
assert(n>2);

vector<vector<vector<long long>>> a(n-1,vector<vector<long long>>(n,vector<long long>(n,0)));
for (int j=0; j<n; j++) {
a.at(0).at(j).at(j) = 1;
}

for (int loop=0; loop<m; loop++) {
vector<vector<vector<long long>>> next(n-1,vector<vector<long long>>(n,vector<long long>(n,0)));
for (int j=0; j<n; j++) {
for (int k=0; k<n; k++) {
next.at(0).at(j).at(k) = a.at(0).at(j).at(k) + a.at(1).at(j).at(k);
for (int i=1; i<n-2; i++) {
next.at(i).at(j).at(k) = next.at(i-1).at(j).at(k) + a.at(i+1).at(j).at(k);
}
next.at(n-2).at(j).at(k) = next.at(n-3).at(j).at(k);
}
}
for (int i=0; i<n-1; i++) {
for (int j=0; j<n; j++) {
swap (next.at(i).at(j).at(i),next.at(i).at(j).at(i+1));
}
}
swap (a,next);
}

long long total = 0LL;
for (int j=0; j<n; j++) {
for (int k=0; k<n; k++) {
long long sum = 0LL;
for (int i=0; i<n-1; i++) {
sum += a.at(i).at(j).at(k);
}
cout << sum;
if (k==n-1) {
total += sum;
cout << endl;
} else {
cout << " ";
}
}
}
cout << "total:" << total << endl;

return 0;
}
-----

出力サンプル

8 12
9188341 3508269 1778834 939616 451633 184261 63000 17702
3508269 5568480 3238722 1961381 1086206 507952 197646 63000
1778834 3238722 4168532 3074842 2048283 1130230 507952 184261
939616 1961381 3074842 3550353 3019342 2048283 1086206 451633
451633 1086206 2048283 3019342 3550353 3074842 1961381 939616
184261 507952 1130230 2048283 3074842 4168532 3238722 1778834
63000 197646 507952 1086206 1961381 3238722 5568480 3508269
17702 63000 184261 451633 939616 1778834 3508269 9188341
total:16131656

5 30
69706010502882 64476946102498 61603155451959 58814544487309 54236041597325
64476946102498 62876755878626 61865352374327 60803099299213 58814544487309
61603155451959 61865352374327 61899682489401 61865352374327 61603155451959
58814544487309 60803099299213 61865352374327 62876755878626 64476946102498
54236041597325 58814544487309 61603155451959 64476946102498 69706010502882
total:308836698141973

（追記：インデント全部消えるんかーい！）

DD++さん
反応頂き有難いのですが... 矢張り数え方は総当たりよりは素敵なのかもしれませんがモヤります。