数の表現ー続き
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DD++様、おはようございます。
＞はちべえさんは「有限回の計算では閉じている処理が、無限回では閉じなくなることがある」と理解しているわけですよね。
私としましては、自然数の2乗の逆数の和を求めるバーゼル問題は、有理数の四則演算なので、有理数で閉じているから、無限であっても、有理数のはずです。オイラーが、π^2/6と求めたのが、間違いであろうと思います。
ですから、当然、オイラー積も有理数で閉じていますから間違いで、リーマンのζ関数も間違いです。
と、私は思っています。
＞で最後に9を付け足すという処理を繰り返したときに、有限回の処理では小数点の前の数が必ず0のまま保たれるのに対して、それを無限回やったら小数点の前の数字は0とは限らなくなるはずなんですが、はちべえさんは何を論拠にそれが0のままとしているのでしょう？
0.999・・・のあとに、どれだけ９をつけたしても、小数点は、移動しません。また、末位で、9の次の記号が必要になったら、桁上がりの連鎖がおきて、１になります。小数点は、移動しません。
Dengan kesaktian Indukmu様、おはようございます。
はじめまして。
おしゃっていることが、レベルが高すぎて、理解できません。
No.254の有理数進数では、無理数を表せないと修正します。
> 有理数の四則演算なので、有理数で閉じているから、無限であっても、有理数のはずです。
なるほど、ではその証明をどうぞ。
四則演算一般でなく和の場合のみ、すなわち「有理数の総和は有理数である」という命題だけで構いません。
DD++様、遅れてすみません。２４時間に２０投稿という制限がありました。うっかりです。
これで、どうでしょう？
有理数と有理数の和が有理数であることを証明する。
数学的帰納法を使う。
a0/b0を初項とする。有理数である。
これに、a1/b1をたすと、
a0/b0+a1/b1=(b1a0+b0a1)/(b1b0)
であり、右辺は有理数である。
a0/b0からan/bnまでを足しても有理数cn/dnだったとする。
さて、これに、a(n+1)/b(n+1)を加えると、
cn/dn + a(n+1)/b(n+1) = {b(n+1) cn+dn a(n+1)}/{dn b(n+1)}
右辺は有理数である。
よって、数学的帰納法によって、証明された。
ちょっと、雑ですが、お許しください。
数学的帰納法は、任意の自然数nについてある条件が成立することを示す証明法です。
つまり、はちべえさんがここで証明した命題は正しくは「任意の自然数nについて任意のn個の有理数の総和は有理数となる」という命題です。
確かにこれで、個数が100個であろうが1万個であろうが、有理数のみからなる総和は有理数であることが保証されました。
しかし、数学的帰納法を用いた以上、そこには【その個数が自然数として表現できる限りは】という制約がついてきます。
無限は残念ながら自然数ではありませんね。
したがってこの証明では有理数のみからなる無限和が有理数になるかどうかは実は不明なままなんです。
無限和でも有理数だと主張したいのであれば、個数が自然数でなくても適用できる証明をしなくてはなりませんが、さて、どうでしょう？
DD++様、おはようございます。
＞無限和でも有理数だと主張したいのであれば、個数が自然数でなくても適用できる証明をしなくてはなりませんが、さて、どうでしょう？
困りました。
そこで、世間では、どうしているのだろうと、みると、
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%90%E3%83%BC%E3%82%BC%E3%83%AB%E5%95%8F%E9%A1%8C
の「収束することの証明」では、無邪気に無限までなんの説明もなく、やっています。
まあ、参考にはなりませんね。困りました。いい案ないですかね？
ところで、放送大学の「初歩からの数学」で、有理数には、循環する無限小数はふくまれ、循環しない無限小数は無理数だと習いました。循環する無限小数は、例えば、1÷7ですが、あまりが循環するので、循環する無限小数となるのです。ところが、0.999・・・は、無限小数ですが、あまりはありません。つまり、あまりが循環する循環小数では、ないのです。したがって、無理数です。１は有理数で、0.999・・・は、無理数で、等号で結べませんと思います。
世間一般では、「0.999・・・」は循環小数だと思うのですが、うんざりはちべえさんはそう考えないわけですね？
管理人さん、おはようございます。
いつもご迷惑おかけします。
さて、０．９９９・・・は、ただ９を並べただけで、９が連続する（循環する）理由がないですよね。見かけは、循環しているように見えますが、ちがいますよね。
１÷７は、あまりが循環するから、循環小数になり、無限小数になります。
循環する根拠（理由）は、いりませんか？
１÷１を計算すれば、９が連続しませんか？
１÷１＝1で、長さ０の有限小数です。あまり、0です。
もしかして、
0.9999
1)1
10
9
--------
10
9
------
10
9
-------
10
９
を言ってます？あまり１で循環させることもできます・・・
昔の同僚が、学校の数学の先生から１＝０．９９９・・・の証明として、説明されたと言ってました。
これで、１＝０．９９９・・・は、終わりにしますか？
> 困りました。いい案ないですかね？
ありません。なぜなら、実際には無限和の場合この命題は偽だからです。反例の1つがまさにバーゼル問題です。
同様に、交換法則、結合法則等も無限和においては成立せず、それどころか同じ内容の式であれば何回計算しても常に同じ答えになることすら保証されません。
もちろん、9を付け足していくという操作に関しても、有限回であれば当たり前のことが無限回で成り立つかどうかは逐一証明が必要です。
9を付け足しているだけでは繰り上がりが起こらない……本当に無限回でもそうですか？
というのが最初に私が指摘した内容です。
「あまり１で循環させることもできます・・・」とのことですが、どうするのでしょうか？
宇宙人との接触に成功し懸命に文化・学問の交流を試みはじめていました。
この宇宙人とのあいだで、地球の数学概念・数学記号について対話しています。
宇宙人側は万能翻訳機に近いものを持ってはいたのですが……
対話のなかで
不等号についてはすぐに宇宙人にご理解いただけました。
ところが等号についてはなかなかご理解いただけていません。
宇宙人側にとって、
1=0.999999……
がどうやら難関のようです。
十進の有限小数の範囲までなら等号の意味を理解はしてもらってはいるのですけれども。
そんなある日のこと、地球側の小さな子ども（ジョン）が、宇宙人の子ども（名前不明）と話はじめました。
ジョン
「あのねえ
Ａ＝Ｂ
について説明するよ。
もひとつなんでもいいから十進の有限小数となるＣをもってくる。
Ａ＜Ｃ
Ｂ＜Ｃ
がともになりたつか
Ａ＞Ｃ
Ｂ＞Ｃ
がともになりたつかの、
どちらかがどんなＣについても必ずいえるとき
Ａ＝Ｂ
というんだよ。 」
名無し（宇宙人の子）
「なあんだ、地球の等号って、そういうことなのか、悩んで損したなあ」
子どもたちの会話を聞いていた大人たちは喜びました。
地球の十進無限小数の概念が伝わった瞬間でした。
※あとでわかったことですが宇宙人の数学での数の表現は連分数展開を基調とするものだったのでした。
―――
という例えばなしはいかがでしょうか？
十進の有限小数の全体の集合をデデキントっぽく切断して十進の無限小数（循環小数または無理数）に拡大するというお伽噺です。
DD++様、こんにちは。
無限では、情報はなくなるという理解でいいのでしょうか？
管理人様、こんにちは。
＞「あまり１で循環させることもできます・・・」とのことですが、どうするのでしょうか？
管理人様の1÷１のことです。
Dengan kesaktian Indukmu様、こんにちは。
難しいお話ですが、お手数をおかけして、申しわけございません。
具体的にどう計算するのかを知りたいのですが…。
管理人様、No.275です。
--------
１）１
で、あまり１として、
0.9
--------
１）１0
９
-----
１
とあまり１にするのです。
0.9９
--------
１）１0
９
-----
１０
９
------
１
とあまり１にするのです。
もう説明不要でしょう？
もちろん、
1
-------
１）１
１
----
0
ですけどね。だから、1=0.999・・・となります。
もちろん、これは、方便に過ぎないと思いますが、あまり１で循環する無限小数となります。有理数になります。
1÷1で、あまり1が続く計算から、0.999…が循環小数であることを示されたわけですが、
このことは今まで言われていたことに矛盾しませんか？
0.999・・・は、無理数です。循環小数とする根拠がありませんからね。
この1÷１は、あくまで、方便です。0.999・・・を作るのに、インチキしてますからね。
1=0.999・・・を終わらせる方便です。管理人様の発案を利用しただけです。
この議論は、終わりにしないと、管理人様にもいつまでも迷惑をおかけし、他の人にも迷惑だと思いました。
本当は、これから、0.999・・・は、循環小数かという議論が、したかったのですが・・・。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AA%E7%92%B0%E5%B0%8F%E6%95%B0
には、0.999・・・は、循環小数と書かれています。
勝手な行動ばかりで、管理人様には、本当にすみません。
「情報が失われる」という数学的用語は私が知る限り存在しませんが、それを「演算について閉じなくなる」と同じ意味で用いているのであれば、そうです、無限の場合にはそうなることがあります。
また、そうならない場合でも、無限の場合でも適用可能な証明をするまでは断言することはできません。
DD++様、おはようございます。
＞なぜなら、実際には無限和の場合この命題は偽だからです。反例の1つがまさにバーゼル問題です。
このことから、
0.999・・・=9/10+9/10^2+9/10^3+9/10^4+・・・・
は、無理数であるとなりますね。
DD++様の
＞「情報が失われる」という数学的用語は私が知る限り存在しませんが、それを「演算について閉じなくなる」と同じ意味で用いているのであれば、そうです、無限の場合にはそうなることがあります。
は、理解できました。
>また、そうならない場合でも、無限の場合でも適用可能な証明をするまでは断言することはできません。
は、注意しておきます。
ありがとうございます。
