集合列の収束にともなう厳密な包含関係の逆転？
恥ずかしながら最近になって知って驚いたのです。以下に。
集合 A を 区間 [0, 1] とします。(閉区間)
集合 B を 区間 [0, 1) とします。(半開区間)
集合列の極限をハウスドルフ距離で考えます。
n を非負整数とします。
An = [0, 1−1/(n+2)]
の場合、n→∞ のとき、
1−1/(n+2) → 1
なので、
An は A に収束します。
任意の n について
An ⊊ B
である一方、
A ⊋ B
となります。
【上に記した記号についての補記】
An ⊊ B は
An ⊂ B and An ≠ B
を意図しています。真部分集合ですね。
※気持ちの上では厳密な意味での包含関係が逆転しています。こんなことがあるんだなあと驚きました。集合列の収束を別な定義にすれば、上のような逆転がおきなくなることも当然あります。
【EDIT】ゼロ除算などの不都合の発生を見落としていましたので編集しました。
