素数の循環節の長さでの偶・奇
ksさんから素数の循環節として
ｐを素数として、１/ｐの循環小数について、ｐ－１の約数が循環節の長さになる。
一つ一つの素数については、気紛れですが、全体として見たとき、循環節の長さが、偶数に
なるときと、奇数になるときの割合が、２/３と１/３となる。
の記述を読んで計算させてみた。
最初から25個(2,3,5,7,･･･,97)の素数での循環節での長さでの
偶数対奇数＝>15 VS 10
同様に最初から
100個の素数では＝>67 VS 33
1000個では＝>675 VS 325
10000個では＝>6655 VS 3345
100000個では＝>66647 VS 33353
1000000個では＝>666488 VS 333512
これ以上は時間が掛かり過ぎて断念
確かに2/3,1/3に近づいていますね。
でもどうして？
検索したら↓こちらで言及されていましたが、
https://www.math.kindai.ac.jp/laboratory/chinen/junkan_f/junkan.html
2：1になるのは証明できるものの
「証明はかなり難しく, 大学院レベルの数学が必要」
だそうです。
（もしかしたら初等的な証明があるかも知れませんが。）
確率的予測としては奇数が 1/3 になる理由は簡単ですね。
厳密な証明をしようとすると算術級数定理とかそっち方面になるのかな？
以下、p>5 として進めます。（有限個取り除いてもほとんど影響はないため）
1/p の循環節が n 桁になるというのは、10^n-1 が p の倍数であり、かつ n の倍数でないいかなる自然数 m についても 10^m-1 が p の倍数にならないということです。
ところで、フェルマーの小定理より 10^(p-1)-1 は p の倍数です。
よって、n は p-1 の約数になります。
p-1 = 2^r*d とおきます。（r は自然数、d は奇数）
r がそれぞれの値を取る確率は1/2^r と考えられます。
また r がそれぞれの値をとったときに n が奇数となる条件付き確率は 1/2^r と考えられます。
というのは、n が奇数となることは n が d の約数であることと同値で、それは 10^d-1 が p の倍数になることと同値ですが、
10^(2^r*d)-1 が p の倍数だということから出発して、
10^(2^(r-1)*d)-1 と 10^(2^(r-1)*d)+1 のどちらが p の倍数かは確率 1/2 ずつ、
前者が p の倍数だとして、10^(2^(r-2)*d)-1 と 10^(2^(r-2)*d)+1 のどちらが p の倍数かは確率 1/2 ずつ、
というのを r 回繰り返すことになるからです。
つまり、n が奇数となる確率は Σ[r=1->∞] 1/2^r * 1/2^r = 1/3 となります。
確率的には。
