素数の無限性
aとbが、互いに素のとき、
an+bの形の素数は、無限に存在する。(ディリクレ)は、証明が難しいと思いますが、
部分的に限定した。例えば、5n+1,5n+2,5n+3,5n+4の、それぞれの形の、素数は、無限に存在する。について、証明はどうでしょうか？
ある本に、6n+5の素数が、無限に、存在する。証明が、載ってました。
6n+1の、素数も、無限に存在する、事実は、知られていますが、証明は、難しいですか？
6n+1型の素数が有限個(m個)と仮定し、p[1]～p[m]とする。
a=6p[1]p[2]…p[m], b=a^3+1とすると
bは2,3,6n+1型の素数で割り切れないのでbの素因数は6n+5型のみ。
bの素因数の一つをq=6k+5とするとb≡0(mod q)なのでa^3≡-1 (mod q)
よってa^(6k+3)≡(a^3)^(2k+1)≡-1 (mod q)
一方、フェルマーの小定理からa^(q-1)=a^(6k+4)≡1 (mod q)なので
a≡-1 (mod q)
つまりa^3+1の素因数はすべてa+1の素因数であることになるが、
b=a^3+1=(a+1)(a^2-a+1)でa^2-a+1の素因数もa+1の素因数となり矛盾。
（∵a+1とa^2-a+1は互いに素）
従って6n+1型の素数は無限個。
# もし上記の証明に誤りがありましたらご指摘下さい。
らすかるさん、いつも、有難うごさいます。
証明を、試みましたが、力不足です。
