「あの関係式」の一般化
以下、全ての文字は正であるとします。
(1)
a^2 + b^2 ≧ 2ab であることを（左辺から右辺を引く方法で）証明してください。
(2-1)
前問の結果を利用して、(a/b)(a/c) ≧ 2(a/c) - (b/c) であることを証明してください。
(2-2)
前問の結果を利用して、(a^3+b^3)/(abc) ≧ (a/c) + (b/c) であることを証明してください。
(2-3)
前問の結果の、右辺の分母がcではなくaやbであるものも同様に作り、それら3つを足し合わせることで「あの関係式」の3変数の場合を証明してください。
(3-1)
前問の結果を利用して、(a/b)(a/c)(a/d) ≧ 3(a/d) - (b/d) - (c/d) であることを証明してください。
(3-2)
前問の結果を利用して、(a^4+b^4+c^4)/(abcd) ≧ (a/d) + (b/d) + (c/d) であることを証明してください。
(3-3)
前問の結果の、右辺の分母がdではなくaやbやcであるものも同様に作り、それら4つを足し合わせることで「あの関係式」の4変数の場合を証明してください。
(4以降)
同様に、お好きなところまでどうぞ。
もしくは数学的帰納法で2以上の任意のnまでどうぞ。
ざっと検索した感じ、同様の方法で証明した例は見当たりませんでした。
先行例はあるでしょうか？
