😊出会いの泉😊

√3はb/aと(3a+b)/(a+b)の間にあると思います。
より一般に
√nはb/aと(na+b)/(a+b)の間にあると思います。

a,b は正の数で a√n ≠ b であるとき、
p√n > q を満たす正の数 p,q に対して、
√n は b/a と (npa+qb)/(qa+pb) の間にある。

よって、次のようにいろいろ作れそうですね。

√3 は b/a と 3(2a+b)/(3a+2b) の間にある。
√3 は b/a と (9a+5b)/(5a+3b) の間にある。
√3 は b/a と 3(7a+4b)/(12a+7b) の間にある。

連分数展開と関係しているのかもしれませんね

p√n > q を満たす正の数 p,q に対して、
(n*p*a+q*b)/(q*a+p*b)
の分数がどの様な形を成すのかを調べて行くと
（但しn=3として調査したもの)

[p,q]=[2,3]=>(6*a+3*b)/(3*a+2*b)

[3,4]=>(9*a+4*b)/(4*a+3*b)
[3,5]=>(9*a+5*b)/(5*a+3*b)

[4,5]
[4,6]

[5,6]
[5,7]
[5,8]

[6,7]
[6,8]
[6,9]
[6,10]

[7,8]
･･････


の様に各pに対して分数を構成可能なqの最大値を追っていくと
3,5,6,8,10,12,13,15,17,19,20,22,24,25,･････
この数列がちょうどA022838;Beatty sequence for　sqrt(3)
に対応する数列と繋がっていました。
sqrt(3)繋がりでちょっと面白く感じました。

a,b は正の数で a√n ≠ b であるとき、
p√n > q を満たす正の数 p,q に対して、
√n は b/a と (npa+qb)/(qa+pb) の間にある。


証明を書いておきましょう。
簡単なので。


Y
= (√n - b/a) * (√n - (npa+qb)/(qa+pb))
= (√n - b/a) * (-1) * pa/(qa+pb) * (√n - b/a) * (√n - q/p)
= (-1) * pa/(qa+pb) * (√n - q/p) * (√n - b/a)^2
とおく。
ここで、
pa/(qa+pb) > 0,
√n - q/p > 0,
(√n - b/a)^2 > 0
なので、
Y < 0
となり、
「√n > b/a かつ √n < (npa+qb)/(qa+pb)」
あるいは
「√n < b/a かつ √n > (npa+qb)/(qa+pb)」
のいずれかが成り立ち、
√n が b/a と (npa+qb)/(qa+pb) の間にあることがわかる。

b/aと(2a+b)/(a+b)に間に√２があり、
(2a+b)/(a+b)に近いことを、踏まえて、これを繰り返して
a=b=1で、具体的に、分数の近似を計算しました。
1/1,3/2,7/5,17/12,41/29,99/70.239/169,577/408
1393/985, 3363/2378, 8119/5741, 19601/13860
47321/33461=１.４１４２１３５６２…

b/aと(ma+b)/(a+b)に間に√mがあり、
(ma+b)/(a+b)が極限値をαをもつならば、これを繰り返して
x(n)=b(n)/a(n)→α と置くと、
x(n+1)=(m+x(n))/(1+x(n)) から
α＝（ｍ＋α）/(1＋α）
α^2=m となりα＝√ｍを得る。

3乗根の場合は、どうなりますか？
例えば、２の３乗根

2^(1/3)は b/a と (2a^2+ab+b^2)/(a^2+ab+b^2) の間にあります。
n^(1/3)は b/a と (na^2+ab+b^2)/(a^2+ab+b^2) の間です。

似たような式ですが、
（2a^2+a*b）/(a^2+b^2)も、２の三乗根に収束すると思いますが、
効率的でなくて、直ぐに、オーバーフローします。
素数のウィルソンの公式みたいに、効率的でないこともありますね。