ディオファントス方程式
0<x≦y≦zで
A=x+y+z;
B=x*y+y*z+z*x;
C=x*y*z;
とするとき
つぎの関係式を満たす整数解(x,y,z)はそれぞれ何か？
(1)A+C=B+25
(2)A+B=C+7
(3)B+C=A+77
なるだけ、これを論理的に求めるテクニックを示しながらお願いします。
普通の解き方ですが
(1) x+y+z+xyz=xy+yz+zx+25
整理して (x-1)(y-1)(z-1)=24
∴(x,y,z)=(2,2,25),(2,3,13),(2,4,9),(2,5,7),(3,3,7),(3,4,5)
(2) x+y+z+xy+yz+zx=xyz+7
x≧4とすると
x+y+z+xy+yz+zx≦z+z+z+yz+yz+yz
=3z+3yz＜yz+3yz=4yz≦xyz＜xyz+7
となり式が成り立たないのでx≦3
x=1のとき
1+y+z+y+yz+z=yz+7
y+z=3
∴y=1,z=2なので(x,y,z)=(1,1,2)
x=2のとき
2+y+z+2y+yz+2z=2yz+7
(y-3)(z-3)=4
∴(y,z)=(4,7),(5,5)なので(x,y,z)=(2,4,7),(2,5,5)
x=3のとき
3+y+z+3y+yz+3z=3yz+7
(y-2)(z-2)=2
∴(y,z)=(3,4)なので(x,y,z)=(3,3,4)
従って答えは
(x,y,z)=(1,1,2),(2,4,7),(2,5,5),(3,3,4)
(3) xy+yz+zx+xyz=x+y+z+77
x(y-1)+y(z-1)+z(x-1)+xyz=77
xyz≦77
∴x≦4
x=1のとき
y+yz+z+yz=1+y+z+77
yz=39
∴(y,z)=(1,39),(3,13)なので(x,y,z)=(1,1,39),(1,3,13)
x=2のとき
2y+yz+2z+2yz=2+y+z+77
(3y+1)(3z+1)=238=2×7×17
∴(y,z)=(2,11)なので(x,y,z)=(2,2,11)
x=3のとき
3y+yz+3z+3yz=3+y+z+77
(2y+1)(2z+1)=81
∴(y,z)=(4,4)なので(x,y,z)=(3,4,4)
x=4のとき
4y+yz+4z+4yz=4+y+z+77
5yz+3y+3z=81
25yz+15y+15z=405
(5y+3)(5z+3)=414
4≦y≦zから(左辺)≧23^2=529なので解なし
従って答えは
(x,y,z)=(1,1,39),(1,3,13),(2,2,11),(3,4,4)
鮮やかな解答ありがとうございました。
> (1) x+y+z+xyz=xy+yz+zx+25
> 整理して (x-1)(y-1)(z-1)=24
解と係数と何か結びつけられないものか？
とあれこれ思案して30分ほどしてやっとこの式に辿り着けました。
> (2) x+y+z+xy+yz+zx=xyz+7
> x≧4とすると
> x+y+z+xy+yz+zx≦z+z+z+yz+yz+yz
> =3z+3yz＜yz+3yz=4yz≦xyz＜xyz+7
> となり式が成り立たないのでx≦3
このxの評価をこの様に鮮やかに思いつけるのが私には驚きです。
> (3) xy+yz+zx+xyz=x+y+z+77
> x(y-1)+y(z-1)+z(x-1)+xyz=77
> xyz≦77
> ∴x≦4
これもxの評価の仕方が目から鱗です。
なおこれらに使っている定数25,7,77
はx≦y≦z≦100
の範囲でプログラム的に全解を調査した後
出題として解が多様に散らばるものを選んで設定しておりました。
自分だけで回答する手段とこうして他人の方法を比較することで
如何に改善の余地を秘めているのかを痛切に感じられてとても参考になります。
