分割数の不思議
直線上に重ならない様にn個の点を置いていくと
有限の長さのn-1個の線分と無限の長さを持つ2つの半直線に別れる。
平面上に一点で3つの直線が集まらない様にn個の直線を置いていくと
(n-1)*(n-2)/2（個)の有限の面積を持つ部分と
2*n（個)の無限の面積となる部分に別れる。
空間内に3つの平面が一つの交線で交わらない様にn個の平面を置いていくと
(n-1)*(n-2)*(n-3)/6（個）の有限の体積の部分と
n^2-n+2（個）の無限の体積を有する部分に別れる。
そこで分割総数だけに着目すれば
直線;n-1+2=n+1
平面;(n-1)*(n-2)/2+2*n=n^2/2+n/2+1
空間;(n-1)*(n-2)*(n-3)/6+n^2-n+2=n^3/6+5*n/6+1
ところでこの3つの計算結果は
nC0＋ｎＣ1=1+n
nC0+nC1+nC2=1+n+n*(n-1)/2=n^2/2+n/2+1
nC0+nC1+nC2+nC3=1+n+n*(n-1)/2+n*(n-1)*(n-2)/6=n^3/6+5*n/6+1
となり正しく上記の結果を与えてくれる。（その昔何かの本で知って感動した。)
ここまで進むと次元を上げたくなる。
そこで四次元空間では？
有限部はn-1C4=(n-1)*(n-2)*(n-3)*(n-4)/24 となりはしないか！
無限部は想像もつかない。
でも総分割数はnC0+nC1+nC2+nC3+nC4 だろう。
そこで四次元空間での無限領域の数は
nC0+nC1+nC2+nC3+nC4-n-1C4 のはず？
これを計算すると
=n/3*(n^2-3*n+8)
に整理された。
この計算結果の数列をOEISで検索してみたらA046127がヒットしてきて
Maximal number of regions into which space can be divided by n spheres.
とある。
何と球面どうしがぶつかり合いをした時に最大に分割される領域数（球面の外に広がる無限部分も1個に数える)
と繋がった。
四次元世界での無限領域が球面同志の分割数に密接に関連し合っているとは思ってもみませんでした。
そこで改めて３次元での無限部分のn^2-n+2から発生する数列を調べてみると
n=1,2,3,･････で
2,4,8,14,22,32,44,58,･････
これは正にn個の円を交わらせたとき、平面を最大に分割できる最大数を与える！
3 次元での無限領域を与える分割数は2次元での円での分割数
4 次元での無限領域を与える分割数は3次元での球での分割数
と見事に対応がついているんですね。
