「手頃な確率の問題」の別解
＞（追記） 令和７年１０月１８日付け
＞次の東北大学 前期理系（２００１）の問題は、期待値の計算である。
＞問題 １から２００までの整数が１つずつ記入された２００枚のカードの入った箱がある。こ
＞の箱から１枚のカードを無作為に抜き出して、それに書かれた数が奇数であればその数
＞を得点とし、偶数の場合は奇数になるまで２で割って得られる奇数を得点とする。
＞１枚のカードを抜き出したときの得点の期待値を求めよ。
以下は大雑把な解答ですが、計算で楽ができると考え、投稿します。
floor(200/2^0)=200,
floor(200/2^1)=100,
floor(200/2^2)=50,
floor(200/2^3)=25,
floor(200/2^4)=12,
floor(200/2^5)=6,
floor(200/2^6)=3,
floor(200/2^7)=1.
このことから、
奇数5が得点となる確率は，(8-2)/200，
奇数7,9,11 が得点となる確率はいずれも，(8-3)/200
であることがわかる。
さらに，Σ[k=1,n](2*k-1)=n^2 であることを考え合わせると、
求める期待値は次のように計算できる。
(1/200)*((8-0)*(1^2)+(8-1)*(2^2-1^2)+(8-2)*(3^2-2^2)+(8-3)*(6^2-3^2)+(8-4)*(13^2-6^2)
+(8-5)*(25^2-13^2)+(8-6)*(50^2-25^2)+(8-7)*(100^2-50^2))
=(1/200)*(1^2+2^2+3^2+6^2+13^2+25^2+50^2+100^2)
=(1/200)*(13344)
=1668/25.
この問題は「1から200までの整数」でしたが、「1から20000までの整数」に置き換えた
問題を解くと、求める期待値は、
(1/20000)*Σ[k=0,∞](floor((floor(20000/2^k)+1)/2))^2
=(1/20000)*Σ[k=0,14](floor((floor(20000/2^k)+1)/2))^2
=66666783/10000.
