折り紙遊び
(1)一辺の長さが10(cm)の正三角形ABCの内部に1点Pをとる。
図形を折り曲げて3点の頂点がすべてPと重なる様にする。
折り曲げられた図形が6辺形となる様なPの存在範囲の
境界線を含めたその図形の面積を明示的な式で表して
下さい。
(2)三角形の3辺が7,9,10(cm)であるもので同様なことをした時
その面積は如何ほどになるか？
これは明示的に示すのは困難に思われますので、その数値を
小数第5位を四捨五入することで小数第4位までの数値で示して
下さい。(手段は何を使われても結構です。）
境界線上が厳密には含まれないことは気にしないということでいいんですかね？
(1)
S = (25/2)π - (25/2)√3
鋭角三角形の場合、各辺を直径とする3つの円全ての内部になります。
よって、半径5、中心角π/3の扇形を3つ足して、1辺5の正三角形を2回引けばよいです。
(2)
手段は何を使ってもいいそうなので、計算方法を教えてchatGPTに計算してもらった結果、
S = (1/4)*(149*acos(17/35) + 181*acos(11/15) + 130*acos(5/21) - 115*pi) - 3*sqrt(26)
= 11.0678
だそうで。（あまり信頼はしていない）
共に正解です。
(1)は何度も紙を折って実験していてやっとのことで気付けました。
特に(2)は自分で適当に数値を指定して、座標で三角形を配置しシコシコと計算を繰り返して
結構面倒な作業を組み合わせていきました。
てっきりこんな面倒な値を一つの式で表せるとは思ってもみなかったのですが、chatGTPでは
こんな返事も返してくるんですか？
まさにこの式を計算させてみたらあれだけ時間をかけてやっと辿り着いた値に小数第何位までも
ピタリと一致するではないですか！
恐るべしGTP
だれかこの公式を説明してくれませんか？
お、合ってましたか、chatGPTもなかなかやりますね。
折った後が六角形になるということは、元々の3つの辺それぞれ、一部が外周として残らねばなりません。
辺ABの一部が六角形でも辺として残る
⇔線分PAとPBの垂直二等分線が辺ABの外で交わる
⇔△PABの外心が辺ABの外にある
⇔∠APBが鈍角
⇔点Pが辺ABを直径とする円の内部にある
ということなので、各辺を直径とする円を3つ描いて、それら全ての内部かつ三角形の内部である領域が点Pの存在範囲です。
それらの3円すべての内部にある範囲は、辺が膨らんだ三角形モドキDEFみたいな形をしており、その3頂点D,E,Fは△ABCの各頂点から向かいの辺に引いた垂線の足の位置にあります。
△ABCが鋭角三角形の場合は、図形的に考えれば、三角形モドキDEFは膨らみ分まで△ABCの中に完全に収まります。
ということで、最終的に求めるべきは三角形モドキDEFの面積です。
これは
(i) △DEFの面積を出す（△ABCの1/4)
(ii) 辺DEから膨らんだ部分の面積を出す（扇形から二等辺三角形を引く）
(iii) 辺EFから膨らんだ部分の面積を出す
(iv) 辺FDから膨らんだ部分の面積を出す
(v) これら4つを合計する
で可能です。
(1)は自分でやり、(2)はこの手順をchatGPTに指示してやってもらいました。
