😊出会いの泉😊

とりあえず
P = 2a^2/(1+(√2)sin(θ+π/4))
　＝2a^2/(1+(√2)cos(θ-π/4))
で合ってますかね？

# 何か記憶にあるな～と思ったのですが、ちょっと前に計算したのは正三角形の場合で、
# 一辺がaの正三角形のときは (√3/2)a^2/(1+2sin(θ+π/6)) ＝(√3/2)a^2/(1+2cos(θ-π/3))でした。
# 式が似てるので「正n角形」でもいけそうですね。
(追記)
# 2式から推測すると、正n角形の場合は
# (一辺がaの正n角形の面積)×2÷(1+cos(θ-π/n)/cos(π/n))
# （ただし0≦θ≦2π/n）
# ぐらいになるのかな？

ピタリ一致します。
最初座標に載せてがむしゃら結構複雑な計算を進めて手に入れたのが
P=a^2*(sinθ+cosθ-1)/(sinθ*cosθ)
でした。
この分子、分母にsinθ+cosθ+1を掛けて変形していくと
P1=2*a^2/(sinθ+cosθ+1)
の形となり、分母を合成することでらすかるさんの式となります。

なおsin,cosに使う角度をθに拘れば
P2=2*a^2*(sinθ-2*sin^2(θ/2))/sin(2*θ)
P3=a^2/cosθ*(1-sqrt((1-cosθ)/(1+cosθ)))
またtanだけを使って
P4=a^2*(1+tan^2(θ/2))/(1+tan(θ/2))
なども同じ数値を与えてくれました。

これから正n角形の場合を考察できるとは思ってもいませんでした。
ただこれを確認する手段が私には無理です。

正n角形の場合は上の式で正しかったようです。
sshmathgeom.private.coocan.jp/volume/volume27.html
↑こちらのページ(の例題3の下の方)に一辺が1の正n角形の場合の式が
n(sin(α/2))^2/(sinθ+sin(α+θ)+sinα)
（ただしαは内角すなわちπ-2π/n）
であると書かれており、これを変形すると
(n/2)cot(π/n)/(1+cos(θ-π/n)/cos(π/n))
となります。一方私の書いた式の「一辺がaの正n角形の面積」は
a=1とすると(n/4)cot(π/n)となりますので、ピタリ一致しました。

ちなみに私が正方形の場合の式を出した方法は
正方形の一辺を2として重なる部分の八角形の1/8の三角形の形を図形的に考察すると、
これはxy平面において
xcos(θ/2)+ysin(θ/2)=1 と y=0 と y=x で作られる三角形
と同じであることがわかり、
xcos(θ/2)+ysin(θ/2)=1 と y=0 との交点は (1/cos(θ/2),0)
→ 原点からの距離は 1/cos(θ/2)
xcos(θ/2)+ysin(θ/2)=1 と y=x との交点は (1/(cos(θ/2)+sin(θ/2)),1/(cos(θ/2)+sin(θ/2)))
→ 原点からの距離は √2/(cos(θ/2)+sin(θ/2))=1/cos(θ/2-π/4)
よって求める面積は
8・1/cos(θ/2)・1/cos(θ/2-π/4)・sin(π/4)・(1/2)
=2√2/(cos(θ/2)cos(θ/2-π/4))
これは正方形の一辺が2の場合なので、一辺がaならば
a^2/√2・1/(cos(θ/2)cos(θ/2-π/4))
=a^2/√2・1/(cos(θ-π/4)+cos(π/4))
=2a^2/(1+(√2)cos(θ-π/4))
のように導出しました。