絶対値のついた不等式
こちらでも投稿させていただきます。
ａ、ｂを実数とするとき、
|ａ+ｂ|≦|ａ|+|ｂ|
を証明せよ。
ab≦|ab|
2ab≦2|ab|
a^2+b^2+2ab≦a^2+b^2+2|ab|
a^2+b^2+2ab≦|a|^2+|b|^2+2|a||b|
(a+b)^2≦(|a|+|b|)^2
|a+b|≦||a|+|b||
∴|a+b|≦|a|+|b|
でどうでしょうか。
xy平面でy≧|x|で表される集合は凸集合である。
したがってその境界y=f(x)=|x|は凸関数である。
凸不等式からf((a+b)/2)≦(f(a)+f(b))/2
|(a+b)/2|≦(|a|+|b|)/2
∴|a+b|≦|a|+|b|
・・・ネタ的な証明？
