私の備忘録 「複素数の底力(ガウス平面) 」 東北大学2004前期理系
(３)の
ｎを自然数とする。ｚ^n＋１ の絶対値が１となるような ｚ をすべてかけ合わせて得られる複素数を求めよ。
ですが、管理人様の(１)と同じ極形式未使用の解答だと以下のようになります。
ーーーーー
|ｚ^n＋１ |^２=(ｚ^n＋１ )(ｚ^n＋１ )
でこれが１なので
ーーーーー
(ｚ^n＋１ )(ｚ^n＋１ )=１
展開して整理すると、
ｚ^(２n)＋ｚ^n＋１=０
両辺にｚ^n－１をかけると
(ｚ^n－１)(ｚ^(２n)＋ｚ^n＋１)=０
ｚ^(３n)－１=０
であり、ｚ^(２n)＋ｚ^n＋１=０が成り立つ２n個のｚは、１の３n乗根のうちn乗根ではない互いに異なるものであるから、その解ｚをｚ_１、ｚ_２、...、ｚ_n、ｚ_(２n)とおくと、
ｚ^(２n)＋ｚ^n＋１=(ｚ－ｚ_１)(ｚ－ｚ_２)×...×(ｚ－ｚ_n)(ｚ－ｚ_(２n))
ｚ=０とおくと、
１=(－ｚ_１)(－ｚ_２)×...×(－ｚ_n)(－ｚ_(２n))
よって、
１=ｚ_１×ｚ_２×...×ｚ_n×ｚ_(２n)
参考：https://kamelink.com/public/2004/1.9-04%E6%9D%B1%E5%8C%97%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%865%E3%83%BB0010200409.pdf
共役複素数のzバーの書き方が分からなかったので、上記のように書いています
すいません、(３)の問題文のうち、以下の記述で抜けがあるので修正お願いします。
誤り：ｚ^n＋１ の絶対値が１となるような ｚ をすべてかけ合わせてられる複素数を求めよ。
正：ｚ^n＋１ の絶対値が１となるような ｚ をすべてかけ合わせて得られる複素数を求めよ。
タイプミスでした！ご指摘ありがとうございます。
