新年のご挨拶
明けましておめでとうございます。
ふとここのサイトに出会ってもう何年経過しただろうと考えています。
ほんとに偶然リンクが何処からか繋がっていたと思うが、正に自分が興味があるテーマや
ほんとにたくさんの分野での投稿された過去のテーマなどが整然と整理されており、ここに
投稿されている顔も年齢もわからない人たちが思いもしない視点から色々な意見を出し合っている
ことに感激し、世の中にはこんな詳しいことに精通している人がいるいるんだという驚きも含め
この場を提供されている管理人さんには感謝に絶えません。
来塾された人数が117万を超えてますが確実に私はそのうちの1万はリンクを踏んでいると思います。
では恒例の年の初めの問題を一つ
a,b,k,mを自然数とするとき
(a-sqrt(2026)*b)^k=sqrt(m)-sqrt(m-1)
の関係式を持たす
(a,b)に対するk,mの組合せを発見願う。
<ヒント>
x^2-2026*y^2=1のペル方程式の解が見つかったら･･･
a=45, b=1, kが偶数という形の解はあるとして、それ以外があるのかないのかが難しいんですよね……
ほとんど一致しています。
自分が用意していたのは
x^2-2026*y^2=1･･･････････････①
のペル方程式の解(x0,y0)を探し出したとすると
x0-sqrt(2026)*y0=sqrt(x0^2)-sqrt(2026*y0^2)
=sqrt(2026*y0^2+1)-sqrt(2026*y0^2)
よってm=2026*y0^2+1と置けば
=sqrt(m)-sqrt(m-1)
と出来る。
①を満たすxを求めるのに
for(x=1,10000,if(x^2==ceil(x*sqrt(2026)*floor(x/sqrt(2026))),print(x)))
で走らせれば
%=4051
これから
y^2=(4051^2-1)/2026=8100
よって
(x0,y0)=(4051,90)を探し出せる。
これから
(4051,90)==>[k,m]=[1,16410601]
_________==>[k,m]=[2,1077231235082401]
_________==>[k,m]=[3,70712045780235420335401]
--------------------------------------------------
etc.
<確認>
4051-90*sqrt(2026)=sqrt(4051^2)-sqrt(90^2*2026)
__________________=sqrt(16410601)-sqrt(16410600)
ここに
(a,b)=(4051,90)
16410601=4051^2
---------------------------------------------------
(4051-90*sqrt(2026))^2=32821201-729180*sqrt(2026)
______________________=sqrt(32821201^2)-sqrt(729180^2*2026)
______________________=sqrt(1077231235082401)-sqrt(1077231235082400)
ここに
(a,b)=(32821201,729180)とすればk=1
1077231235082401=7^2*4688743^2
--------------------------------------------------
(4051-90*sqrt(2026))^3=265917366451-5907816270*sqrt(2026)
______________________=sqrt(70712045780235420335401)-sqrt(70712045780235420335400)
ここに
(a,b)=(265917366451,5907816270)とすればk=1でよい。
70712045780235420335401=11^2*673^2*4051^2*8867^2
以下同様任意のkに対してmが決められる。
ああ、kの約数を選んで、その分累乗を実行してしまう解はありますね。
で、ペル型以外の解がない証明はどうするのでしょう？
へーそんな解もあり得る可能性を持つのですか？
まったく気にも留めませんでした。
どなたか見つけて貰えないものか？
ただ実2次体Q(sqrt(2026))での単位元はe=45+sqrt(2026)しか無いから
他の数値の可能性はあり得ないのでは？
ないと思いますよ。
でも、この世の全員がないと思っていても、証明がなければないと断定できないのが数学です。
a,b,m,kを求めよという問題に対する解答には、列挙した解以外存在しない証明が含まれるべきだと思います。
