1にこだわって
今日は1月11日で1が並びます。
そこで今日に因む問題を一つ。
直角三角形で面積が111となる3辺が有理数となる三角形の辺
[a,b,c] (a<b<c)を見つけて下さい。(できれば2タイプ)
ちなみに投稿時間を11:11にしてみました。
あれ～時刻がずれてしまっている！
探し方が悪いのか、一つしか見つけられませんでした。
(a, b, c) = (444/35, 35/2, 1513/70)
合同数問題を力ずくで解こうとしても歯が立たない。
問題自身は昔からテーマとなっていたようですが、
その三角形の3辺を具体に求める方法は長らく未解決と
なっていた模様です。
どんな数が合同数かは現在でも完全には解決されていないらしい。
これを求めるのに楕円曲線が大変強力な道具になると多くの人の
研究に心血が注がれており、またそれらの研究で楕円曲線論自身の
発展をもたらした。
いろいろな人の解説書を参考に求める手順を記しておく。
合同数とは辺の長さがすべて有理数である直角三角形の面積となるような自然数のことである。
従って合同数をgとすれば
a^2+b^2=c^2
かつ
a*b/2=g
を満たす有理数(a,b,c)が求まることになる。
この時
上の2つの関係式を組合わせることで
E;y^2=x^3-g^2*x
なる方程式に変換される。(詳しいことは書物に譲る。)
E上にある生成元Pを見つけ、それから発生してくる加法群の
様子を見たのが下のデータです。
gp > P=ellgenerators(E)
%479 = [[-36, 630]]
gp > for(n=2,4,print(n";"ellpow(E,P,n)))
2;[2289169/19600, 1077378553/2744000]
3;[-702970242579396/8968641363361, -18689563840388114124990/26859009127111258609]
4;[99471302068384505638854721/91002372442806906625600,
-986951449961032281250161407557918511519/27452321215759546489234611411904000]
この座標をもろに利用して
gp > a(g,x,y)=abs((x^2-g^2)/y);
gp > b(g,x,y)=abs(2*g*x/y);
gp > c(g,x,y)=abs((x^2+g^2)/y);
gp > F(g,x,y)=print(a(g,x,y)" ; "b(g,x,y)" ; "c(g,x,y));
なる変換をして3辺の長さが判明していく。
--------------------------------------------------------
gp > F(111,-36, 630)
35/2 ; 444/35 ; 1513/70
a<b<cから
a=444/35,b=35/2,c=1513/70
(確認)
gp > (35/2)^2+(444/35)^2
%500 = 2289169/4900
gp > (1513/70)^2
%501 = 2289169/4900
gp > 1/2*35/2*444/35
%502 = 111
--------------------------------------------------------
gp > F(111,2289169/19600, 1077378553/2744000)
712081/211820 ; 47024040/712081 ; 9973530070561/150832997420
a=712081/211820,b=47024040/712081,c=9973530070561/15083299742
(確認)
gp > (712081/211820)^2+(47024040/712081)^2
%491 = 99471302068384505638854721/22750593110701726656400
gp > (9973530070561/150832997420)^2
%492 = 99471302068384505638854721/22750593110701726656400
gp > 1/2*712081/211820*47024040/712081
%493 = 111
--------------------------------------------------------
gp > F(111,-702970242579396/8968641363361, -18689563840388114124990/26859009127111258609)
234968389921405/26467355143878 ;
5875752841940916/234968389921405 ;
165025069140509609227269112873/6218991823635030238886908590
(確認)
gp > (234968389921405/26467355143878)^2+(5875752841940916/234968389921405)^2
%494 = 27233273444829976935529194352071095900775442980080414314129/
38675859302439359055394105690217683330770495687015788100
gp > (165025069140509609227269112873/6218991823635030238886908590)^2
%495 = 27233273444829976935529194352071095900775442980080414314129/
38675859302439359055394105690217683330770495687015788100
gp > 1/2*234968389921405/26467355143878* 5875752841940916/234968389921405
%496 = 111
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gp > F(111,99471302068384505638854721/91002372442806906625600,
-986951449961032281250161407557918511519/27452321215759546489234611411904000)
98957083698401819456825279/3008674870802439461905240 ;
667925821318141560542963280/98957083698401819456825279 ;
9996575456267088141000515248201787420008791554547841/
297729691011275282356684619921534182697031134561960
(確認)
gp > (98957083698401819456825279/3008674870802439461905240)^2+
(667925821318141560542963280/98957083698401819456825279)^2
%497 = 99931520852841541445900172102118583630747636172081443161
872245439042761782179209495351807663769957761281/
886429689096694536641140593396045963972294022746899350694112261
49266026306507876382173188441079041600
gp > (9996575456267088141000515248201787420008791554547841/
297729691011275282356684619921534182697031134561960)^2
%498 = 99931520852841541445900172102118583630747636172081443161
872245439042761782179209495351807663769957761281/
886429689096694536641140593396045963972294022746899350694112261
49266026306507876382173188441079041600
gp > 1/2*98957083698401819456825279/3008674870802439461905240*
667925821318141560542963280/98957083698401819456825279
%499 = 111
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こんなものを力ずくで求められるはずがない。
逆にこんな道具を編み出した先人の知恵に感謝です。
