トランプ遊び
トランプで黒を2枚、赤を2枚を裏向きにランダムに並べ
これより2枚を選んで表向きにする。
この時
同じ色のカードである組合せの確率P1と
異なる色のカードである組合せの確率P2は一見同じと思ってしまうが
計算してみるとP1<P2であることがわかる。(P1=1/3,P2=2/3)
そこで赤色のカードを追加していき、P1とP2が逆転(P1>P2)するためには
最低赤カードの枚数を何枚にしておけばよいか？
また
黒,赤を適当な枚数で調整しておけば(引くカードはその内の2枚とする)
P1,P2の確率を全く同じに出来るようなそれぞれの枚数はあるか？
赤を３枚追加して、黒２枚、赤５枚のとき、Ｐ1=１１/２１ となりますね！
> 黒,赤を適当な枚数で調整しておけば(引くカードはその内の2枚とする)
> P1,P2の確率を全く同じに出来るようなそれぞれの枚数はあるか？
任意の自然数kに対して
一つの色がk(k+1)/2枚、もう一つの色が(k+1)(k+2)/2枚
でしょうか。
お二人とも正解です。
これをn枚のトランプ(黒色a枚;赤色b枚)として
具体的に表示していくと(意外と一方を多めにセットしておく必要があるのですね。)
n=>a;b
4=>1;3
9=>3;6
16=>6;10
25=>10;15
36=>15;21
49=>21;28
64=>28;36
81=>36;45
100=>45;55
121=>55;66
144=>66;78
169=>78;91
･････････
正に条件を満たすセットは隣り合う三角数の集団で
あり、2つの合計はピタリ平方数となる。
これを認識するための幾何的様子が
1+3=4=2^2
○○
●○
3+6=9=3^2
○○○
●○○
●●○
6+10=16=4^2
○○○○
●○○○
●●○○
●●●○
10+15=25=5^2
○○○○○
●○○○○
●●○○○
●●●○○
●●●●○
････････････････････････
この結果の計算をするまで三角数と平方数が
こんな関係で繋がれるとは気付きませんでした。
またこの関係は
binomial(a,1)*binomial(b,1)=binomial(a,2)+binomial(b,2)
でもあるので
a*b=a*(a-1)/2+b*(b-1)/2
(a-b)^2=a+b
の関係ももたらす。
ここに
binomial(a,1)*binomial(b,1)=binomial(a,2)+binomial(b,2)
を記述すれば
1*3=0+3
3*6=3+15
6*10=15+45
10*15=45+105
15*21=105+210
21*28=210+378
28*36=378+630
36*45=630+990
45*55=990+1485
･･･････････
であり
これを一気に書き表せばn>=2で
binomial(n,2)"*"binomial(n+1,2)"="binomial(binomial(n,2),2)"+"binomial(binomial(n+1,2),2)
となりすべてが三角数へ帰着できました。
