自由な動きへのコントロール
平面上のベクトルa̅, b̅ が
|a̅ + 3*b̅|=1,|3*a̅ - b̅|=1
を満たすように動く。
この時、|5*a̅ + 2*b̅|の最大値Rと最小値rは？
ａ＝ｘ＋ｉ・ｙ、ｂ＝ｕ＋ｉ・ｖ とおくと、条件より、
ｘ＾2＋ｙ＾2＝１/７、ｕ＾2＋ｖ＾2＝２/３５、ｘｕ＋ｙｖ＝２/３５
と定まり、|５ａ＋２ｂ|^２は、定数１７３/３５となってしまうのですが．．．。
私の計算間違いでしょうか？
> ａ＝ｘ＋ｉ・ｙ、ｂ＝ｕ＋ｉ・ｖ とおくと、条件より、
> ｘ＾2＋ｙ＾2＝１/７、ｕ＾2＋ｖ＾2＝２/３５、ｘｕ＋ｙｖ＝２/３５
iは虚数単位のことですか？
上記の値の導き方を教えて下さい。
ｉを虚数単位として、ａ＝ｘ＋ｉ・ｙ、ｂ＝ｕ＋ｉ・ｖ とおくと、条件より、
ｘ^２＋ｙ^２＋９（ｕ^２＋ｖ^２）＋６（ｘｕ＋ｙｖ）＝１
９（ｘ^２＋ｙ^２）＋（ｕ^２＋ｖ^２）－６（ｘｕ＋ｙｖ）＝１
を解いて、ｘ＾2＋ｙ＾2＝１/７、ｕ＾2＋ｖ＾2＝２/３５、ｘｕ＋ｙｖ＝２/３５
となったのですが．．．。
A=ｘ^２＋ｙ^２
B=ｕ^２＋ｖ^２
C=ｘｕ＋ｙｖ
としてみれば
A+9B=1-6C
9A+B=1+6C
なのでA,B,Cは独立に決められず
A,Bの連立とみて
A=1/20(15C+2)
B=1/20(-15C+2)
C=C
としか出来ないと思いますが・・・
基底変換して以下でシンプルに解けませんか？
a+3b = c, 3a-b = d とおくと、10a = c+3d, 10b = 3c-d
よって 5a+2b = (11/10)c+(13/10)d
|c| = |d| = 1 なので、|5a+2b|の最大値は12/5、最小値は1/5。
DD++さん正解です。
方法も最もベストな近道！
始めそのままの形から攻めていたのでかなり遠回りになってしまいました。
