自由な動きへのコントロール(2)
半径rの定円上を点P,Q,Rが自由に動き回る時
ベクトルPQとベクトルPRの内積(PQ・PR)の
最大値M,最小値mは？
(PQ・PR)=|PQ||PR|cos∠QPR
最大値は明らかに|PQ|=|PR|=2r,∠QPR=0（すなわちPQが直径でQ=R）のときで4r^2
また最小値は∠QPRが鈍角のとき
Q,Rを固定したとき、∠QPRが一定になるので
|PQ||PR|cos∠QPRが最小
⇔|PQ||PR|が最大（∵cos∠QPRが負で一定）
⇔鈍角三角形PQRの面積が最大（∵△PQR=|PQ||PR|sin∠QPR/2でsin∠QPRが一定）
⇔Pが劣弧QR上で直線QRから最も遠い（∵QRを底辺としたときの高さ最大）
⇔|PQ|=|PR|
よって
P(r,0),Q(rcosθ,rsinθ),R(rcosθ,-rsinθ),π/4＜θ＜π/2
とおいて最小値を調べればよい。
|PQ||PR|cos∠QPR
=((rcosθ-r)^2+(rsinθ)^2)cos(π-θ)
=2r^2(cosθ-1)cosθ
=2r^2{(cosθ-1/2)^2-1/4}
従ってcosθ=1/2⇔θ=π/3⇔∠QPR=2π/3のとき最小値-r^2/2
結果をまとめると
M=4r^2 (PQが直径でQ=Rのとき)
m=-r^2/2 (△PQRが∠QPR=120°、PQ=PRの二等辺三角形のとき)
完璧な解答
すぐに攻略されないものを探さなきゃ～
忙し忙し
