😊出会いの泉😊

xyz座標で
A(0,0,0),B(1,0,0),C(1/2,sqrt(3)/2,0)
D(0,0,sqrt(2)),E(1,0,sqrt(2)),F(1/2,sqrt(3)/2,sqrt(2))
に配置すれば
s,t,uをそれぞれ0以上1以下の実数として
P(s,0,sqrt(2)*s),
Q(1-t/2,sqrt(3)/2*t,sqrt(2)+t),
R(u/2,sqrt(3)*u,(1-u)*sqrt(2))
にとれ
従ってP,Q,Rでの重心GをG(Fx(a,t,u),Fy(s,t,u),Fz(s,t,u))
a=sqrt(3);b=sqrt(2)と置くと
Fx(s,t,u)=1/6*(2*s-t+u+2)
Fy(s,t,u)=a/6*(t+u)
Fz(s,t,u)=b/3*(s+t-u+1)
で
パラメータ(s,t,u)に対して
(0,0,0)=> G1(1/3,0,1/3*b)
(0,0,1)=> G2(1/2,1/6*a,0)
(0,1,0)=> G3(1/6,1/6*a,2/3*b)
(0,1,1)=> G4(1/3,1/3*a,1/3*b)
(1,0,0)=> G5(2/3,0,2/3*b)
(1,0,1)=> G6(5/6,1/6*a,1/3*b)
(1,1,0)=> G7(1/2,1/6*a,b)
(1,1,1)=> G8(2/3,1/3*a,2/3*b)
と各点に移る。
これらを3D用アニメーションソフトで眺めるとG1,G2,G3,G4は∠G1G2G4=60°である
等辺平行四辺形(各辺は1/sqrt(3))となり
G5,G6,G7,G8はこの平行四辺形に平行となる同じ合同の等辺平行四辺形
となっている。
全体としてDは平行6面体をなす。

またG1,G2,G4を通る平面を求めると
4*x+sqrt(2)*z=2となるので
これに点G5より下した垂線の長さは
|4*2/3+sqrt(2)*2/3*sqrt(2)-2|/sqrt(4^2+2)=sqrt(2)/3

従って求めたい領域Dの体積は
(1/sqrt(3))^2*sin(60°)*sqrt(2)/3=sqrt(6)/18

お見事、正解です。
一辺1/√3の正四面体の6倍の体積になります。

合っていて良かった。

コメントの
一辺1/√3の正四面体の6倍の体積になります。

とは何なのかを確かめてみました。
a=sqrt(3);
b=sqrt(2);
G1=[1/3,0,1/3*b];
G2=[1/2,1/6*a,0];
G3=[1/6,1/6*a,2/3*b];
G4=[1/3,1/3*a,1/3*b];
G5=[2/3,0,2/3*b];
G6=[5/6,1/6*a,1/3*b];
G7=[1/2,1/6*a,b];
G8=[2/3,1/3*a,2/3*b];
K(P,Q)=norml2(P-Q)

各2点間の距離を調べてみました。
gp > K(G1,G2)
%83 = 0.33333333333333333333333333333333333333
gp > K(G1,G3)
%84 = 0.33333333333333333333333333333333333334
gp > K(G1,G4)
%85 = 0.33333333333333333333333333333333333333
gp > K(G1,G5)
%61 = 0.33333333333333333333333333333333333334
gp > K(G1,G6)
%62 = 0.33333333333333333333333333333333333333
gp > K(G1,G7)
%63 = 1.0000000000000000000000000000000000000
gp > K(G1,G8)
%64 = 0.66666666666666666666666666666666666667

gp > K(G2,G3)
%86 = 1.0000000000000000000000000000000000000
gp > K(G2,G4)
%87 = 0.33333333333333333333333333333333333333
gp > K(G2,G5)
%65 = 1.0000000000000000000000000000000000000
gp > K(G2,G6)
%66 = 0.33333333333333333333333333333333333333
gp > K(G2,G7)
%67 = 2.0000000000000000000000000000000000000
gp > K(G2,G8)
%68 = 1.0000000000000000000000000000000000000

gp > K(G3,G4)
%88 = 0.33333333333333333333333333333333333334
gp > K(G3,G5)
%69 = 0.33333333333333333333333333333333333333
gp > K(G3,G6)
%70 = 0.66666666666666666666666666666666666667
gp > K(G3,G7)
%71 = 0.33333333333333333333333333333333333333
gp > K(G3,G8)
%72 = 0.33333333333333333333333333333333333333

gp > K(G4,G5)
%73 = 0.66666666666666666666666666666666666667
gp > K(G4,G6)
%74 = 0.33333333333333333333333333333333333333
gp > K(G4,G7)
%75 = 1.0000000000000000000000000000000000000
gp > K(G4,G8)
%76 = 0.33333333333333333333333333333333333333

gp > K(G5,G6)
%77 = 0.33333333333333333333333333333333333334
gp > K(G5,G7)
%78 = 0.33333333333333333333333333333333333334
gp > K(G5,G8)
%79 = 0.33333333333333333333333333333333333333

gp > K(G6,G7)
%80 = 1.0000000000000000000000000000000000000
gp > K(G6,G8)
%81 = 0.33333333333333333333333333333333333334

gp > K(G7,G8)
%82 = 0.33333333333333333333333333333333333334

これから
(G1,G2,G4,G6)
(G3,G5,G7,G8)
(G1,G2,G3,G4)
(G1,G3,G5,G7)
(G2,G4,G6,G8)
(G5,G6,G7,G8)
の6組での正4面体は一辺が1/sqrt(3)の合同な立体になり
各頂点は3回ずつ登場しています。

これを計算の裏づけ無しに認識することはとても私には無理です。

平行六面体を作る3つのベクトルは、各点が動くAE、BF、CDの1/3になっています。
このAE、BF、CDは、どの2つをとっても、始点をそろえると正三角形を作ります。
このことから、平行六面体の体積は正四面体の2倍（底面を正三角形から菱形にする）の3倍（錐体の1/3を消す）であることがわかるのです。

正三角形から菱形への2と
錐体から平行六面体への3
から６が生まれるのですか！
ヘェ～
こんなことを見通して即問題を思い付くDD++さんて何者？