自由な動きへのコントロール(6)
正八面体の12個の辺を、適切に4辺ずつ組み合わせて3つの正方形を構成する。
3点 P, Q, R がそれぞれの正方形の周上を自由に動くとき、△PQRの重心Gが動く範囲は、正八面体の体積のうちどのくらいの割合を占めるか？
なお、AI（chatGPT5.2pro）は、まず4分かけて一度誤答し、その後13分かけてギブアップしました。
モンテカルロ法による予測では当てていましたが。
ChatGPT (free ユーザ)に聞いてみました。
割合は 1 だそうで。
Gemini(pro)に聞いたら
割合は 8/9 だそうで。
どちらのAIもミンコフスキー和を使っていますが拘束条件について意見の対立がありました。
そして、私には、どちらも、なんか痒いところに手が届かないのでして(論理の飛躍があるのか私が論理を追えないのか……後者かも)
chatGPT5.2proの最初の解答は8/9でした。
これは、正方形の内部まで動けるという場合には正解になります。
しかし、正方形の外周しか動けない場合はそのうち一部は実現不可能な領域となり、正解は8/9より小さい値となります。
ひょっとしてちょうど1/2でしょうか？
3/2×1/3=1/2 の様なイメージ
流石にそこまで小さくはないですね。
一辺が2の立方体に内接する正八面体の中心を原点と
して、以下の3つの正方形を考える：
𝑆𝑥𝑦：𝑥𝑦 平面上
頂点：(1,0,0),(0,1,0),(−1,0,0),(0,−1,0)
𝑆𝑦𝑧：𝑦𝑧 平面上
頂点：(0,1,0),(0,0,1),(0,−1,0),(0,0,−1)
𝑆𝑧𝑥：𝑧𝑥 平面上
頂点：(0,0,1),(1,0,0),(0,0,−1),(−1,0,0)
各正方形の周上を点 P,Q,R が動く。
各正方形の周上は、4辺の直線の集合。たとえば
𝑆𝑥𝑦 の周上は：
辺1：(1−𝑠,1), 0≤𝑠≤2
辺2：(−1,1−𝑠),0≤𝑠≤2
辺3：(−1+𝑠,−1),0≤𝑠≤2
辺4：(1,−1+𝑠),0≤𝑠≤2
同様に、他の2つの正方形もそれぞれの平面上で同じ構造を持っている。
つまり、各正方形の周上の点は、対応する2軸の成分が
[−1,1] の範囲で動き、残りの軸は0。
各点は次のように動く：
P∈𝑆𝑥𝑦：(𝑥1,𝑦1,0)
Q∈𝑆𝑦𝑧：(0,𝑦2,𝑧2)
R∈𝑆𝑧𝑥：(𝑥3,0,𝑧3)
したがって、重心G の座標は：
G=1/3(𝑥1+𝑥3,𝑦1+𝑦2,𝑧2+z3)
つまり：
𝑥=1/3(𝑥1+𝑥3)
𝑦=1/3(𝑦1+𝑦2)
𝑧=1/3(z2+𝑧3)
ここで、
𝑥1,𝑦1 は𝑆𝑥𝑦 の周上の点から、
𝑦2,𝑧2 は𝑆𝑦𝑧 の周上の点から、
𝑥3,𝑧3 はs𝑧𝑥 の周上の点から取られる。
この構造からわかるのは：
x1,𝑥3∈[−1,1] → 𝑥∈[−2/3,2/3]
𝑦1,𝑦2∈[−1,1] → 𝑦∈[−2/3,2/3]
𝑧2,𝑧3∈[−1,1] → 𝑧∈[−2/3,2/3]
ただし、これらの範囲すべてを独立に取れるわけではなく、
各点が正方形の周上にあるという制約がある。
でも、3つの正方形が互いに直交していて、
各点が独立に動けるので、重心Gの動く範囲は原点中心・辺長
4/3
の立方体に内接する正八面体になる。
正八面体の体積は、辺長a=sqrt(2) のとき：
𝑉=sqrt(2)/3*𝑎^3=sqrt(2)/3*(sqrt(2))^3=4/3
重心Gの動く範囲は、各軸方向に
2/3
に縮小された正八面体なので、体積は：
(2/3)^3*4/3=8/27*4/3=32/81
⋅
よって、割合は：
32/81÷4/3
=8/27
と更に小さくなってしまいましたが、どこに論理的ミスが発生するのか教えて下さい。
> 𝑆𝑥𝑦 の周上は：
のところですね。
これでは立方体を真っ二つにした断面です。
Sxyは、その正方形の中点を順に結んだ、45°傾いた正方形ですよ。
また、各座標の絶対値が2/3以下であればよいかというとそうでもなく、(0,0,1/2)などはGの動ける領域外になります。
