😊出会いの泉😊

ChatGPT (free ユーザ)に聞いてみました。
割合は 1 だそうで。

Gemini(pro)に聞いたら
割合は 8/9 だそうで。

どちらのAIもミンコフスキー和を使っていますが拘束条件について意見の対立がありました。

そして、私には、どちらも、なんか痒いところに手が届かないのでして(論理の飛躍があるのか私が論理を追えないのか……後者かも)

chatGPT5.2proの最初の解答は8/9でした。
これは、正方形の内部まで動けるという場合には正解になります。
しかし、正方形の外周しか動けない場合はそのうち一部は実現不可能な領域となり、正解は8/9より小さい値となります。

ひょっとしてちょうど1/2でしょうか？
3/2×1/3=1/2　の様なイメージ

流石にそこまで小さくはないですね。

一辺が2の立方体に内接する正八面体の中心を原点と
して、以下の3つの正方形を考える：
𝑆𝑥𝑦：𝑥𝑦 平面上  
頂点：(1,0,0),(0,1,0),(−1,0,0),(0,−1,0)
𝑆𝑦𝑧：𝑦𝑧 平面上
頂点：(0,1,0),(0,0,1),(0,−1,0),(0,0,−1)
𝑆𝑧𝑥：𝑧𝑥 平面上
頂点：(0,0,1),(1,0,0),(0,0,−1),(−1,0,0)
各正方形の周上を点 P,Q,R が動く。

各正方形の周上は、4辺の直線の集合。たとえば
𝑆𝑥𝑦 の周上は：
辺1：(1−𝑠,1), 0≤𝑠≤2
辺2：(−1,1−𝑠),0≤𝑠≤2
辺3：(−1+𝑠,−1),0≤𝑠≤2
辺4：(1,−1+𝑠),0≤𝑠≤2

同様に、他の2つの正方形もそれぞれの平面上で同じ構造を持っている。
つまり、各正方形の周上の点は、対応する2軸の成分が
[−1,1] の範囲で動き、残りの軸は0。

各点は次のように動く：
P∈𝑆𝑥𝑦：(𝑥1,𝑦1,0)
Q∈𝑆𝑦𝑧：(0,𝑦2,𝑧2)
R∈𝑆𝑧𝑥：(𝑥3,0,𝑧3)

したがって、重心G の座標は：
G=1/3(𝑥1+𝑥3,𝑦1+𝑦2,𝑧2+z3)
つまり：
𝑥=1/3(𝑥1+𝑥3)
𝑦=1/3(𝑦1+𝑦2)
𝑧=1/3(z2+𝑧3)

ここで、
𝑥1,𝑦1 は𝑆𝑥𝑦 の周上の点から、
𝑦2,𝑧2 は𝑆𝑦𝑧 の周上の点から、
𝑥3,𝑧3 はs𝑧𝑥 の周上の点から取られる。

この構造からわかるのは：
x1,𝑥3∈[−1,1] → 𝑥∈[−2/3,2/3]
𝑦1,𝑦2∈[−1,1] → 𝑦∈[−2/3,2/3]
𝑧2,𝑧3∈[−1,1] → 𝑧∈[−2/3,2/3]

ただし、これらの範囲すべてを独立に取れるわけではなく、
各点が正方形の周上にあるという制約がある。
でも、3つの正方形が互いに直交していて、
各点が独立に動けるので、重心Gの動く範囲は原点中心・辺長
4/3
の立方体に内接する正八面体になる。

正八面体の体積は、辺長a=sqrt(2) のとき：
𝑉=sqrt(2)/3*𝑎^3=sqrt(2)/3*(sqrt(2))^3=4/3
重心Gの動く範囲は、各軸方向に
2/3
に縮小された正八面体なので、体積は：
(2/3)^3*4/3=8/27*4/3=32/81
⋅
よって、割合は：
32/81÷4/3
=8/27

と更に小さくなってしまいましたが、どこに論理的ミスが発生するのか教えて下さい。

> 𝑆𝑥𝑦 の周上は：

のところですね。
これでは立方体を真っ二つにした断面です。
Sxyは、その正方形の中点を順に結んだ、45°傾いた正方形ですよ。

また、各座標の絶対値が2/3以下であればよいかというとそうでもなく、(0,0,1/2)などはGの動ける領域外になります。

全くお門違いの設定をしておりました。
3つの正方形の辺を動かすことを改めて考えていたら、全くでたらめなことを設定していました。
改めて調査してみると重心Gの座標での取り得る値が±を含め
2√2/3,√2/3,1,1/3,2/3,0
がたびたび出現します。
今数値だけ眺めているのでどんな領域が形成されるのかな？
三次元でのイメージが中々作り難い。

7/9(=77.7778%)でしょうか？

正解です、お見事！

領域はどんな形になるでしょうか？

元の正八面体の1/3サイズ(体積では1/27)
のものが６か所の各頂点から抜け落ちたような
正八面体版メンガーのスポンジの様なイメージ
(コンピュータを使った大量の計算結果をもとに、手書きによる
見取り図の地道な手作業の末、やっと浮かび上がった姿であり、決して
直感や霊感は伴っていないことを本人が保証します。)

1-6*(1/3)^3=1-2/9=7/9

で求めました。

その通りです。
3Dの見取り図を手作業で書けるの、すごい。

3Dの中でこの立体を回転させて見てみたく、Geogebraのソフトを利用して例の情報の数値を入れて立体を回して見てみると
立体と言うよりも、平べったい紙を貼り合わせた様な不思議な構造物となり、見る方向から色々な形に千変万化していく
立体万華鏡とも言いたくなる不思議なものです。（特に6か所に窪んでいる部分を色分けして見ていたのでその変化はまるで
夜空に打ちあがる花火の様でした。)
求めていた比は体積比と言うよりは体積　vs 　面積
と見えてしまうような感覚をもつ構造物となっていました。
さらに線を引くことを増やしていくと、中に元の正八面体の1/3の大きさの正八面体が潜んでいるようだ。
しかしこれでも体積比が7:9という結果が見た目ではどうしても理解できない。
目で見たこの構造物は全く不思議な形状をしています。

そうか！
今骨組みだけで見ているので理解できないんだ。
各4点で作れる平面の部分を作ることを追加していけば全体の姿が見えるはずだ。
しかしこの作業は手間が大いにかかりそう！

やっと見たかった立体の形状を完成出来ました。
頭の中では一つの頂点でのイメージはできるんですが、これが6つの頂点で同時に
起きた時の全体の形状およびこれらが回転したり、上から下から見たときの様子は
とても頭の中では構築できません。
見てみたら正六角形と正方形の表面で囲まれた球状のものとなっており、
正方形の部分は穴が開いていて覗くと底が四角錐状に窪んでいる。

最初ソフトを利用していくとき、頂点の座標や2点を繋いでいく辺の様子や小正八面体
が折り返される部分座標等をやり終えた時点で、すべての頂点が同時に凹んでいると
こんな奇妙な立体となるんだと勘違いしてしまっていた。(でも構造上この形状は面白い)
後に
これは折り畳み傘の骨組みだとやっと気づいて結構多数に渡る面貼り作業をやっと済ます
ことが出来ました。(途中失敗することもあるので、削除という機能を使ってやり直すのですが
マウスのボタンを押す位置がちょっと違っていたりすると、今まで積み上げてきた壊さなく
でもいい部分までもが全部消えてしまう場面も何度か起きました。アンドゥ機能を付けて
おいて欲しい。)

Geogebraをこんなに長時間使うことは今までに無かったので慣れてくると中々機能が充実
しておりhttps://www.geogebra.org/3d?lang=ja
にアクセスすればクラウド上で無料で結構複雑な形状でも組み立てていけて、さらに自由な
角度から見たり回転させたりしながら色も部分的に変えていけたりできる。
遊びに面白いのでお勧めです。(よくこんなソフトが作れるな～)

ちなみに
P,Q,Rが正方形の内部で動くときの体積比が8/9は
1-6*(1/2*(1/3)^2)=1-1/9=8/9
で求めることになるのですか？

はい。
ヘコみのない切頂八面体になります。