😊出会いの泉😊

大円の上半分だけで考えて
2/3*π*R^3-π∫[R/2,R](R^2-x^2)dx=11/24*π*R^3
これより比率は
(11/24)/(2/3)
=11/16

ではないですね。
仮に半球の内部まで動けるとしてももう少し小さいですし、この問題は半球の表面だけなのでさらに小さいです。

そうか！
表面しか動けないのか。
xy平面で半径1の円x^2+y^2=1上の動点P(cost,sint) (0<t<π)
と点S(-1,0)の中点M(x,y)を考えると
x=(cost-1)/2,y=sint/2から
(2*x+1)^2+(2*y)^2=1
(x+1/2)^2+y^2=(1/2)^2
従ってMは中心(-1/2,0)半径1/2の円周上にある。
対称性を考慮してMが動ける領域は円盤(半径1/2)がy軸の周りを一回転してできるトーラス内になる。
このトーラスの体積は(1/2)^2*π*(2*1/2*π)=π^2/4
よって体積比は
(π^2/4)/(4/3*π)
=3*π/16 かな?

正解！

Geogebraのソフトで球面の2か所（２つに分けた各半球上で動かしてみる。)
での中点の軌跡を見ていたらどうもトーラスの形状とは程遠い形状になる様なんです。
点を一点に固定したまま考えていたので、2つが独立に自由に動き回る条件はカバーしきれていないかもしれません。
すべての部分を動かした中点の軌跡を全部残像で残すことがいまのところソフトでやる方法がわからないので、今のところ
上部の円周上と下部の円周上でいろいろと高さを変えながらの観察の様子からの判断です。
以外に複雑な様子になりそう。

余りにも図形が入り組んでいてこのMの領域を積分等で出す方法が全く見えてこない。
どなたかモンテカルロ法を使った確率幾何学的な方法で近似値でもいいので試みてくれませんか？

AIに質問すると
1.𝑃,𝑄 を球面上から一様にランダムに選ぶ。
2.𝑃･𝑄<0（反対の半球）という条件を満たすペアだけを使う。
3.その中点𝑀 を大量に生成して、点群として分布を記録。
4.得られた点群の凸包（convex hull）をとって、その体積を数値的に評価。

この方法で得られる体積が、球全体の体積の5/16 に非常に近づくことが確認されているんだ！
と厳密な解析積分は非常に複雑で、ヤコビアンの計算や高次元の変数変換が必要
などとの返事をよこす。

P・Q<0って、本当に逆の半球上にいる条件になっていますかね？
仮に実際はちゃんとしていたとして、答えの領域は穴の半径が0になっているトーラスであり、凸包にはなっていません。
だからこの計算だと過大評価になる……はずなんですが、なんで真の値より小さいんだろう？

実際の形の確認は、大円を赤道に見立てるとして、北緯と南緯をあまり変化させないようにするとイメージしやすいかも？

円柱座標を使って

V = ∫_0^{2π} dθ ∫_0^1 r dr ∫_{-√[r(1-r)]}^{√[r(1-r)]} dz

となりますか？(自信なし)

V = ∫_0^{2π} dθ ∫_0^1 r dr ∫_{-√[r(1-r)]}^{√[r(1-r)]} dz
これってπ^2/2
の値を与えるのですか？
これは何の値を示すのですか？

体積比
(π^2/4)/(4/3*π)
の分子を求めるつもりでおりました。

Denganさん
それであっています。
実際にはz方向に積分した方が簡単で、パップスギュルダンの定理ならさらに簡単です。

すみません。
∫_0^1 r dr
の所のrを1と見てしまい計算していました。

これでトーラスの体積量が計算できるんですね。
ちなみに
π^2/4は例のπ^2/6
に近づけるために
もし半径を1/2から1/sqrtn(12,3)(≒0.436790) (1/(12の3乗根))
へ変更して軸の周りを回転させるとその体積はπ^2/6(=1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+･･･････)
または
そのまま
π^2/4=2*(1+1/3^2+1/5^2+1/7^2+･････+1/(2*n-1)^2+･･･)
で鑑賞すると面白い。

お返事が遅れてしまい申し訳ありません。

DD++さん、GAIさん、ご教示を、ありがとうございます。