自由な動きへのコントロール(8)
2次元→3次元ときて、ここで1次元の問題。
長さが1の線分がある。
この線分上にいくつかの閉区間をとり、それら全体を区間群Aとする。
2点P, Qが区間群A内を自由に動くとき、線分PQの中点Mが長さ1の線分全体を動くようにしたい。
このような区間群Aの長さの合計値Lの下限は？
長さ1の線分を[0,1]とし区間を三等分して
S1=[0,1/3],S2=(1/3,2/3),S3=[2/3,1]
に分けると
点P、QがそれぞれS1,S3の区間を自由に動けば
線分PQの中点MはS2区間を端点も含み生成できる。
このことを今度は
S1,S3に対して同様にして
S1の区間を三等分して
S11=[0,1/9],S12=(1/9,2/9),S13=[2/9,1/3]
すると
点P、QがそれぞれS11,S13の区間を自由に動けば
線分PQの中点MはS12区間を端点も含み生成できる。
S3の区間を三等分して
S31=[2/3,7/9],S32=(7/9,8/9),S33=[8/9,1]
すると
点P、QがそれぞれS31,S33の区間を自由に動けば
線分PQの中点MはS32区間を端点も含み生成できる。
この作業を無限に繰り返せば中点の軌跡は[0,1]
区間を埋め尽くし長さ1の線分全体を動ける。
何故なら中点の軌跡の合計は
S2+S12+S32+S112+S132+S312+S332+････
1/3+2/9+4/27+8/81+････
=1/3*(1+2/3+(2/3)^2+(2/3)^3+････)
=1/3*(1/(1-2/3)
=1
そうあのカントールの三進集合を区間群Aとして
採用すればよい。
従って各区間群の長さの和は
S1+S3+S11+S13+S31+S33+S111+S113+S131+S133+S311+S313+S331+S333+････
=2/3+4/9+8/27+16/81+････
=2/3+(2/3)^2+(2/3)^3+(2/3)^4+････
=2/3/(1-2/3)
=2
これは中点Mが長さ1の線分を動けるためのぎりぎりの限界であり
これ以上の合計値にすれば余裕で達成される。
従って合計値Lの下限は2
もし私が問題を正しく理解できていれば
長さ1の線分を[0,1]として
区間1: [0,1/n]
区間2: [2/n,2/n]
区間3: [3/n,3/n]
・・・
区間n-2: [1-2/n,1-2/n]
区間n-1: [1-1/n,1]
のようにすれば条件を満たせるので、下限は0
GAIさん
構成法はほぼ正解です。
S11とS13を採用した場合、S1は不要になります。
つまり区間群の長さ合計は(2/3)^nになり、下限は0となりますね。
らすかるさん
そのような構成もありですね。正解です。
