😊出会いの泉😊

下限が0なのは自明として、最大値をゴリゴリ計算したら
ものすごーく変な値になって自信がないのですが、
最大値はひょっとして
(29√1443-78√74)/1196≒0.36
ですか？

もっと大きくとれると思います。
下限が0の意味が掴みかねるんですが、最小値もある値で決まります。

＊平面の切り方は三角柱の底面の一角を通る様に切断しても、切断面は
すべて側面の部分を通って切り離せるので適当な角度をつけて切断すれば
直角三角形の切り口は結構広く作れます。

下限が0にならないということは、私が何か勘違いしている？
と思って問題を読み直したら、とても大きな勘違いに気づきました。
「三角柱」を「三角錐」と思い込んでいました・・・
三角柱なら下限が0になるわけないですね。
もう一度考え直します。
（もし気が向いたら「三角錐」の場合を考えてみて下さい）

(追記)
計算し直しました。最小3/4、最大√17/4でしょうか。 (← 最初4で割り忘れていて後で修正しました)
合っていれば私の計算方法を書きます。

正解です。

私も三角錐にてGeogebraを利用して角度が90°になる瞬間に近い部分で三角形の面積を同時に表示しながら
眺めてみました。90°の角度を作れる場所は本当に特殊な位置にP,Qがいる時に起こるしか無く、勝手にとれば
ほとんど鋭角の状態のままの時がほとんどでした。
この時の面積を計算させたものを読んだら0.35~0.36辺りの数値が表示されていました。
らすかるさんがあの複雑怪奇な式がどのように算出されるのかは全く分かりませんが、実験的にP,Qを連続的に
動かして直角の条件を通過するときの面積表示を見ていれば確かに0.36以上の値は起こりませんでした。

以下のように計算しました。
3点の高さを低い順に0(点A)、a(点B)、b(点C) (0≦a≦b≦2, a≧b/2)とすると
AB^2=a^2+1, BC^2=(b-a)^2+1, CA^2=b^2+1
∠Bしか直角になり得ないのでAB^2+BC^2=CA^2に代入して整理すると
2a^2-2ab+1=0
a=(b±√(b^2-2))/2
これと条件から √2≦b≦2
b=√2のときa=√2/2、b=2のときa=(2+√2)/2
2a^2-2ab+1=0から b=(2a^2+1)/(2a) … (1)
ヘロンの公式から、各辺の長さの2乗をp,q,rとすると
16S^2=2(pq+qr+rp)-(p^2+q^2+r^2)
p=AB^2,q=BC^2,r=CA^2と(1)を代入して整理すると
16S^2=(a^2+1)(4a^2+1)/a^2
これにa=√2/2とa=(2+√2)/2を代入して計算すると
S=3/4、√17/4を得る。

# 三角錐のときも、AB^2,BC^2,CA^2の式が長くなって計算が面倒になる以外は同じです。
# ちなみに三角錐の場合は
# AB^2=(49-14a√3+52a^2)/49
# BC^2=(49-14(a+b)√3+52a^2+52b^2-92ab)/49
# CA^2=(49-14b√3+52b^2)/49
# AB^2+BC^2=CA^2に代入して整理すると104a^2-2(14√3+46b)a+49=0
# b=(104a^2-28a√3+49)/(92a)
# b=7(√26-√3)/23のとき最大
# となります。
# (追記)三角錐の場合のa,bは、純粋な高さではなく側面の二等辺三角形上の高さです。

## 手作業で書き写したので細かい間違いがあるかも知れません。

3点の高さを低い順に0(点A)、a(点B)、b(点C)　(0≦a≦b≦2)で
a=(2-√2)/2,b=2の場合も△ABCの面積は√17/4になりませんか？

もちろん私が書いた解と合同ですからそうなります。
しかし複数の合同な解は書くのが手間がかかりそうなので、
最初にa≧b/2という条件を付けて一方に絞っています。
結果的には(2+√2)/2を(2±√2)/2と書くだけなので手間ではありませんでしたが。

数字の組合せが異なっていたのでてっきり別物かと今の今まで思っていました。
天地をひっくり返したら同じだ！
失礼いたしました。