アルキメデスの円周率に寄せて
アルキメデスは円周率の真の値の範囲を求めるのに
正6角形の外接と内接長から始めてその半分の半分の半分の半分
6*2^4=96 つまり正96角形を考えることで
223/71(=3+10/71)<π<22/7(=3+1/7)
を見出した,(なんとBC250年頃の話)
とある。
近年では連分数表示から構成できる方法もあり上限の方の22/7は
よく見かける近似分数として馴染みがある。
ところが下限の方の分数はあまりお目にかからない。
連分数からも発生しない。
そこでこれをどうやってアルキメデスは導いたのかの疑問で
解説されているサイトなどを探し回って読んでみると
内接する正96角形では辺長が
96*66/(2017+1/4)=25344/8069=3+1137/8069>3+10/71(=223/71)
と最後の部分の評価でいきなり
1137/8069=0.140909654
10/71=0.140845070
と確かに式的には間違いじゃないんだが10/71をどうやって使う決定がされたのか？
これに関する情報が読み取れなかった。
まあ証明はさておき
223/71<π<22/7
は紛れもない真実として
22/7-πの誤差に関する計算で、どこかで読んでメモしていた中で
∫[0->1]x^4*(1-x)^4/(1+x^2)dx=22/7-π
がありました。
確かに手計算でも中の関数は
x^6-4*x^5+5*x^4-4*x^2+4-4/(1+x^2)
と変形できるので
∫[0,1]4/(1+x^2)dx=π
と合わせ等式が成立できることが納得できます。
そこで、では
π-223/71の誤差値を表せる積分による計算で構成できるでしょうか？
∫[0,1]F(x)dx=π-223/71
が成り立つ関数F(x)や如何に？
(偶然も手伝ってか、丸3日かけてやっと見つかりました。)
以前計算したものが、精度が悪いものから良いものまで各種ありますので
223/71より大きいものと小さいものを内分して作ればとりあえず作れます。
そのように作ったもので比較的綺麗そうなのは
F(x)=(13+484x^4)(1-x)^8/(1988(1+x^2))
以前計算したものが、精度が悪いものから良いものまで各種あります
このコメントに驚愕です。
(13+484x^4)(1-x)^8/(1988(1+x^2))
を確認しましたら確かにπ-223/71にピタリ一致しました。
自分が見つけたと思ったF(x)は
F(x)=x^4*(1-x)^4*(19+90*x^2)/(71*(1+x^2))
でした。
ちなみに
355/113-π=∫[0,1]x^8*(1-x)^8*(25+816*x^2)/((3164*(1+x^2))dx
で可能なんですが、これ以外に作ることはできますか？
さらに精度が高まった
104348/33215-π
を積分で計算できる関数を何度挑戦していても未だ見つけられません。
もしらすかるさんの手法で可能なら教えて下さい。
メモしてあるものは
∫[0～1]f(x)/(1+x^2)dx
として
π-○になるものは
f(x)=4x^4: π-8/3 (2.666…)
f(x)=4x^8: π-304/105 (2.895…)
f(x)=4x^12: π-10312/3465 (2.976…)
f(x)=2x(1-x)^2: π-3
f(x)=4x^16: π-135904/45045 (3.017…)
f(x)=(1-x)^8/4: π-109/35 (3.114…)
f(x)=x^2(1-x)^4: π-47/15 (3.133…)
f(x)=x(1-x)^10/8: π-15829/5040 (3.140674…)
f(x)=(1-x)^16/64: π-226355/72072 (3.140678…)
f(x)=x^4(1-x)^8/4: π-2419/770 (3.141558…)
f(x)=x^8(1-x)^8/4: π-47171/15015 (3.1415917…)
f(x)=x^4(1-x)^16/64: π-5735995/1825824 (3.14159250…)
f(x)=x^12(1-x)^8/4: π-36566969/11639628 (3.14159258…)
f(x)=x^16(1-x)^8/4: π-1051300379/334639305 (3.141592644…)
f(x)=x^8(1-x)^16/64: π-989459183/314954640 (3.1415926528…)
f(x)=x^12(1-x)^16/64: π-29683775497/9448639200 (3.141592653574…)
f(x)=x^16(1-x)^16/64: π-741269838109/235953517800 (3.14159265358916…)
○-πになるものは
f(x)=(1-x)^4: 10/3-π (3.333…)
f(x)=2x^3(1-x)^2: 19/6-π (3.166…)
f(x)=x(1-x)^6/2: 63/20-π (3.15)
f(x)=(1-x)^12/16: 87217/27720-π (3.14635…)
f(x)=x^4(1-x)^4: 22/7-π (3.14285…)
f(x)=x^8(1-x)^4: 10886/3465-π (3.14170…)
f(x)=x^12(1-x)^4: 141514/45045-π (3.14161…)
f(x)=x^16(1-x)^4: 45708802/14549535-π (3.1415988…)
f(x)=x^4(1-x)^12/16: 17417/5544-π (3.1415945…)
f(x)=x^8(1-x)^12/16: 56256877/17907120-π (3.141592673…)
f(x)=x^12(1-x)^12/16: 431302721/137287920-π (3.1415926543…)
f(x)=x^16(1-x)^12/16: 25231209173/8031343320-π (3.14159265364…)
上のπ-223/71は223/71を上下から挟むもので形（次数）が似ているものを選び
f(x)=(1-x)^8/4: π-109/35 (3.114…)
f(x)=x^4(1-x)^8/4: π-2419/770 (3.141558…)
を使って
(223/71)-(109/35)：(2419/770)-(223/71) = 484：13
から
{{(1-x)^8/4}×13+{x^4(1-x)^8/4}×484}÷(484+13)
=(13+484x^4)(1-x)^8/1988
なので
F(x)=f(x)/(1+x^2)=(13+484x^4)(1-x)^8/(1988(1+x^2))
のように算出したものです。
（形が大きく異なるものを選ぶと汚い結果になります。）
よって同様に355/113-πを考えるならば
f(x)=x^4(1-x)^12/16: 17417/5544-π (3.1415945…)
f(x)=x^8(1-x)^12/16: 56256877/17907120-π (3.141592673…)
を使って
(355/113)-(56256877/17907120)：(17417/5544)-(355/113)=499：3230
から
{{x^4(1-x)^12/16}×499+{x^8(1-x)^12/16}×3230}÷(3230+499)
=x^4(499+3230x^4)(1-x)^12/59664
なので
F(x)=x^4(499+3230x^4)(1-x)^12/(59664(1+x^2))
とすれば355/113-πになります。
104348/33215-πも同様に
f(x)=x^12(1-x)^12/16: 431302721/137287920-π (3.1415926543…)
f(x)=x^16(1-x)^12/16: 25231209173/8031343320-π (3.14159265364…)
を使って
(104348/33215)-(25231209173/8031343320)：(431302721/137287920)-(104348/33215)
=326：477
から
{{x^12(1-x)^12/16}×326+{x^16(1-x)^12/16}×477}÷(326+477)
=x^12(326+477x^4)(1-x)^12/12848
なので
F(x)=x^12(326+477x^4)(1-x)^12/(12848(1+x^2))
とすれば104348/33215-πになります。
最初計算が合わなくてとまっどていて、そうだrealprecisionが足らないんだとやっと気が付いて
やり直したらピタリ一致していきました。
２つの候補の内分点として求まることが出来るんですね。
そのためには色々なパターンでの積分計算結果を前もって準備しておかねばならないんですね。
何時頃こんな計算結果をしておこうとされ、そのきっかけは何だったんですか？
らすかるさんが構成されていた
π-223/71=∫[0,1](1-8)^8*(13+484*x^4)/(1988*(1+x^2))dx
355/113-π=∫[0,1]x^4*(1-x)^12*(499+3230*x^4)/((59664*(1+x^2))dx
では左右にある分母の数で
1988/71=28
59664/113=528
と綺麗に整数倍となっているのに
104348/33215-π=∫[0,1]x^12*(1-x)^12*(326+477*x^4)/((12848*(1+x^2))dx
では
33215/12848=455/176
で異なってしまうのですね。
この式を運にまかせて見つけていたのが運の尽きでした。
＞何時頃こんな計算結果をしておこうとされ、そのきっかけは何だったんですか？
相当昔ですが、多分最初に22/7-πになる積分を知った時だと思います。
（もちろん自分では思いついていません。）
これを見ると、「次数を上げたり式を少し変えたりすれば精度が良くなるのでは？」と思いますよね。
それでたくさん計算しておきました。
でも役に立ったのは今回が初めてです。
