😊出会いの泉😊

k=t-3とおいて地道に計算したら3(t^2+5)になったので
多分3(k^2+6k+14)になるのだとは思いますが、
こういう綺麗な結果になるということは
うまい計算方法があるのでしょうね。

y=x^2 と y=kx+1 の交点を (a,a^2), (b,b^2) (a<b) とします。
y=x^2 と y=(k+6)x+1 の交点を (c,c^2), (d,d^2) (c<d) とします。

すると、明らかに a<c<b<d なので、1/6公式と外積を用いると、求める面積は
S = (1/6)(c-a)^3 + (1/2){a(c^2-1)-c(a^2-1)} + (1/2){b(d^2-1)-d(b^2-1)} + (1/6)(d-b)^3
= (1/6)(c^3+d^3) + (1/2)(c+d) - (1/6)(a^3+b^3) - (1/2)(a+b)
= (1/6)(c+d)^3 + (1/2)(c+d)(1-cd) - (1/6)(a+b)^3 -(1/2)(a+b)(1-ab)
= (1/6)(k+6)^3 + (k+6) - (1/6)k^3 - k
= 3k^2 + 18k + 42

y=x^2と
y=mx+1
の交点をP(p,mp+1),Q(q,mq+1) (p>q)
E(0,1)とおく。
mを極僅かだけ変化させた微小量⊿mに対し
y=x^2,y=mx+1,y=(m+⊿m)x+1
とで囲まれる微小面積⊿Sを△EPM+△EQNで近似する。
ただし
M(p,(m+⊿m)p+1),N(q,(m+⊿m)q+1)とする。

⊿S=1/2*p*⊿m*p+1/2*(-q)*(-⊿m*q)=1/2*(p^2+q^2)*⊿m
ここにp,qは
x^2-mx-1=0の2根より
p^2+q^2=m^2+2
即ち
dS/dm=1/2*(m^2+2)
求める面積S(k)がF(m)=1/6*m^3+mとして
S(k)=1/2*∫[k,k+6](m^2+2)dm=F(k+6)-F(k)
=1/6*((k+6)^3-k^3)+((k+6)-k)
=3*k^2+18*k+42
=3*(k^2+6*k+14)

あのめんどくさい曲線部分を含む
y=kx+1,y=x^2の交点をA(a,ka+1),B(b,kb+1)　(a<b)
y=(k+6)x+1,y=x^2の交点をC(c,(k+6)c+1),D(d,(k+6)d+1) (c<d)
E(0,1)とし
p=k^2+4,q=(k+6)^2+4とすると求める部分の面積は
EAC+EBD
=AC曲線部+△EAC+BD曲線部+△EBD
=AC曲線部+BD曲線部+△EAC+△EBD
=1/6*((c-a)^3+(d-b)^3)+3*(a*c+b*d)
これより
S(k)=1/6*(((6-(sqrt(q)-sqrt(p))/2)^3+((6+(sqrt(q)-sqrt(p))/2)^3)+
3*((k-sqrt(p))/2*(k+6-sqrt(q))/2+(k+sqrt(p))/2*(k+6+sqrt(q))/2)
r=sqrt(q)-sqrt(q)と置くことで
=1/4*(36+3*r^2)+3/4*(2*k*(k+6)+2*sqrt(p*q))
=1/4*(36+3*(p+q-2*sqrt(p*q)))+3/2*(k*(k+6)+sqrt(p*q))
=9+3/4*(p+q)+3/2*k*(k+6)
=9+3/4*(k^2+4+(k+6)^2+4)+3/2*k*(k+6)
=3*(k^2+6*k+14)

なる計算をパスできることに感激しました。(途中タイプミスがあるかも知れません。)
ニュートン様様です。