行列方程式
A,Bは共に自然数を成分とする2×2行列で
Aは対称行列とする。
A*B=[ 6__6]
_____[46 22]
B*A=[ 5 37]
_____[ 7 23]
であるとき、A,Bを求めて下さい。(アンダーバーは列を揃えるために使用しています。)
地道に計算しようと思って式を立てて計算を進めたら、結構あっさり解けました。
A=[1,1;1,9], B=[1,4;5,2] (Pari/GPの形式) ですね。
(追記)
私が解いた何の工夫もない方法を整理すると
A=[a,b;b,c], B=[d,e;f,g]とおくと、条件から
(1)ad+bf=6 (2)ae+bg=6 (3)bd+cf=46 (4)be+cg=22
(5)ad+be=5 (6)bd+ce=37 (7)af+bg=7 (8)bf+cg=23
(7)-(2)からa(f-e)=1, (8)-(4)からb(f-e)=1, (3)-(6)からc(f-e)=9
なのでa=b=1,c=9,f=e+1。(2)(4)(5)に代入して
(2)e+g=6 (4)e+9g=22 (5)d+e=5
(4)-(2)からg=2, (2)からe=4, (5)からd=1, f=e+1からf=5
∴(a,b,c,d,e,f,g)=(1,1,9,1,4,5,2)
|A||B| = -144
なので、A,Bは正則である。
B^(-1) = [[a, b], [c, d]]
とおく。
一つ目の式に右からB^(-1)を掛けると
A = [[6a+6c, 6b+6d], [46a+22c, 46b+22d]]
となり、
二つ目の式に左からB^(-1)を掛けると
A = [[5a+7b, 37a+23b], [5c+7d, 37c+23d]]
となる。
6a+6c = 5a+7b, 6b+6d = 37a+23b, 46a+22c = 5c+7d, 46b+22d = 37c+23d
を連立して解くと、p,qを任意の実数として
a = 7p-6q, b = p, c = q, d = 46p-37q
となるので、
A = [[42p-30q, 282p-222q], [322p-254q, 1058p-814q]]
と書ける。
Aが対称行列のとき、
282p-222q = 322p-254q
を解くと、rを任意の実数として
p = 4r, q = 5r
と書けるので、
A = [[18r, 18r], [18r, 162r]]
および
B^(-1) = [[-2r, 4r], [5r, -r]]
となる。よって、
B = [[1/(18r), 4/(18r)], [5/(18r), 2/(18r)]]
となる。
Aの各成分が自然数になるのはmを自然数として r = m/18 のときであり、
Bの各成分が自然数になるのはnを自然数として r = 1/(18n) のときである。
m/18 = 1/(18n) より mn = 1 なので、m,nがともに自然数になるのは m = n = 1 のときだけである。
このとき r = 1/18 であり、
A = [[1, 1], [1, 9]], B = [[1, 4], [5, 2]]
となる。
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|A||B| = -144
なので、A,Bは正則である。
A^(-1) = [[a, b], [c, d]]
とおく。
一つ目の式に左からA^(-1)を掛けると
B = [[6a+46b, 6a+22b], [6c+46d, 6c+22d]]
となり、
二つ目の式に右からA^(-1)を掛けると
B = [[5a+37c, 5b+37d], [7a+23c, 7b+23d]]
となる。
6a+46b = 5a+37c, 6a+22b = 5b+37d, 6c+46d = 7a+23c, 6c+22d = 7b+23d
を連立して解くと、p,qを任意の実数として
a = -46p+37q, b = p, c = q, d = -7p+6q
となるので、
B = [[-230p+222q, -254p+222q], [-322p+282q, -154p+138q]]
と書ける。
Aが対称行列のとき、A^(-1)も対称行列になるので、rを任意の実数として p = q = r と書けて
B = [[-8r, -32r], [-40r, -16r]]
および
A^(-1) = [[-9r, r], [r, -r]]
となる。よって、
A = [[-1/(8r), -1/(8r)], [-1/(8r), -9/(8r)]]
となる。
Aの各成分が自然数になるのはmを自然数として r = -1/(8m) のときであり、
Bの各成分が自然数になるのはnを自然数として r = -n/8 のときである。
-1/(8m) = -n/8 より mn = 1 なので、m,nがともに自然数になるのは m = n = 1 のときだけである。
このとき r = -1/8 であり、
A = [[1, 1], [1, 9]], B = [[1, 4], [5, 2]]
となる。
