4数差0
正確な名前ではありません。
0～９の中から４つの数を選び、並べます。
それを、A、B、C、Dとします。隣の差を
ＡＢの差、ＢＣの差、ＣＤの差、ＤＡの差（ＤＡだけ特別）
Ａ、’Ｂ’、Ｃ’、Ｄ’として、繰り返すと、全て0になります。
できるだけ操作が長く続く４数の並びを教えてください。
選ぶ数を２桁、個数を５つと増やすこともできそうです。
例 ４２８５→2631→4321→1113→0022→0202→2222→0000
８回とカウント
最大は9回で、9回になるのは
0149,0589,0941,0985,1094,1490,4109,4901,
5098,5890,8509,8905,9014,9058,9410,9850
の16個です。
ただし、abcd,bcda,cdab,dabc,dcba,cbad,badc,adcbが同じ回数になりますので、
本質的には0149と0589の2個ですね。
(追記)
abcd+efgh=9999のときabcdの回数とefghの回数は同じなので、本質的には0149の1通りだけでした。(∵0149+9850=9999)
(追々記)
5桁で試したら、「1回以下で終わるもの」と「無限に終わらないもの」しかないようでした。
7桁も同じです。奇数桁では自明な解を除き0にならないのかも知れません。
6桁は最大4回(例:014523)、8桁は最大22回(例:00012448)、10桁は最大4回(例:0143014523)でした。
(さらに追記)
よく考えたら奇数桁では2回以上の解はないですね。
例えば5桁でもし2回以上の解があったとすると
最後が00000→その前はaaaaa (a=1～9)
その前がbcdefとすると
c=b±a, d=c±a, e=d±a, f=e±a, b=f±aなので
b=b±a±a±a±a±a
±a±a±a±a±a=0
∴±1±1±1±1±1=0
これはあり得ませんので奇数桁では2回以上の解はなく、
よって無限回を除外すると1回(全桁同じ数字から開始)が最大となります。
出所は、記憶が定かではありませんが、25年くらい前の、数学セミナーだと思います。
設問は、「４つの数（桁数関係なく）からはじめて、差をとると0になり、その操作の回数を10回以上にしてください。」
0を除く一桁の数で、10回以上可能だったような。二桁かも。記憶は誤りでしたか？
選択の数の桁数を増やせば、いくらでも回数を増やすことができる？
小学生に、出題する予定でした。
「四角形の数」数学の部屋
サイトがありました。
上限が9より大きくてよければ、10回以上は可能です。
「その操作の回数を10回以上」とのことなので最初の状態はカウントしません。
(0,2,6,13)
→(2,4,7,13)
→(2,3,6,11)
→(1,3,5,9)
→(2,2,4,8)
→(0,2,4,6)
→(2,2,2,6)
→(0,0,4,4)
→(0,4,0,4)
→(4,4,4,4)
→(0,0,0,0)
最小数と最大数の差が12以下のとき10回未満となります。
2桁の最大は13回(例:0,7,20,44)
3桁の最大は19回(例:0,81,230,504)
4桁の最大は25回(例:0,927,2632,5768)
でした。
