😊出会いの泉😊

半径が整数で3個の格子点だけを含む円の方程式では
(x-3/5)^2+(y-4/5)^2=17^2
で3点(-13,11),(-2,-16),(16,8)のみが格子点

(x-1/5)^2+(y-3/5)^2=29^2
で3点(-23,18),(5,-28),(29,4)のみが格子点
などもありますね。

5個の格子点のみ含む円の方程式を探しているのですが中々見つかりません。

(x-1/5)^2+(y-2/5)^2=(13^0)^2 → 1個
(x-1/5)^2+(y-2/5)^2=(13^1)^2 → 3個
(x-1/5)^2+(y-2/5)^2=(13^2)^2 → 5個
(x-1/5)^2+(y-2/5)^2=(13^3)^2 → 7個
(x-1/5)^2+(y-2/5)^2=(13^4)^2 → 9個
・・・
となるようですが、証明はわかりません。
※(13^9)^2 → 19個 まで確認しただけですので、それより大きい数でも成り立つかどうかわかっていません
※半径13^nのとき2n+1個ですが、半径13^n・17^mのとき(2n+1)(2m+1)個となりそうなこともわかっています。
※同様に、半径Πp[n]^a[n]のときΠ(2a[n]+1)個になるようです。ただしp[n]は13以上の4n+1型素数です。
※よって半径を13*17*29*37*41*53にすると3^6=729個になります。

# ちなみに、左辺の(x-1/5)^2+(y-2/5)^2を(x-3/5)^2+(y-4/5)^2や(x-1/5)^2+(y-3/5)^2などにしても、
# 円を(1/2,1/2)中心に回転またはy=xに関して対称移動するだけですので、個数は変わりません。

(追記)
上記の式では奇数個しか現れませんが、
1/5と2/5を1/13と5/13とか1/17と4/17などに変えると偶数も出てきます。
しかし偶数では13^nのような規則性は見つかりません（が、おそらく任意の偶数が現れると思います）。
（x^2+y^2=r^2でr=5^nとすると8n+4個になるらしいということだけはわかっています）
(x-分数)^2+(y-分数)^2の場合、分母は4n+1型の奇数、分子は2乗和が分母の2乗になるような組または
その回転・対称移動のバリエーションにしないとおそらく解なしになります。
(1/5,2/5)≡(4/5,3/5) → 4^2+3^2=5^2
(1/13,5/13)≡(12/13,5/13) → 12^2+5^2=13^2
(1/17,4/17) → 1^2+4^2=17^2

格子点数が奇数個となる場合の半径rはr≡1 (mod 4)を満たしているものとアタリを付けて
1000までの半径について検索し続けたら
r=13^2=169 の半径では方程式
(x-1/5)^2+(y-2/5)^2=169^2
には(-167,25),(-135,-101),(-23,-167),(86,146),(164,42)の格子点が存在
同じく円の中心を
(1/5,3/5)==>(-167,-24),(-135,102),(-23,168),(86,-145),(164,-41)の格子点
(2/5,4/5)==>(-167,24),(-101,136),(25,168),(42,-163),(146,-85)
(3/5,4/5)==>(-145,-85),(-41,-163),(-24,168),(102,136),(168,24)
とそれぞれ5個の格子点が存在でき
らすかるさんのコメントの様にこの円の中心の(x,y)座標を交換した(y,x)の円でも
格子点の座標は違ってきますがやはりどれも格子点は5タイプ存在していきます。

次に
r=17^2=289の半径でも上記の円の中心と同じものをもつタイプがありました。
r=5^2*13=325での半径では円の中心は
(1/17,4/17)
(1/17,13/17)
(4/17,16/17)
(13/17,16/17)ととればよさそうです。
r=5^2*17=425では中心は
(1/13,5/13)
(1/13,8/13)
(2/13,3/13)
(3/13/10,13)
(4/13,6/13)
(4/13,7/13)
(5/13,12,13)
(6/13,9/13)
(7/13,9/13)
(8/13,12/13)
(10/13,11/13)で
以下中心座標は省略しますが半径
r=13*53=689
r=5^2*29=725
r=29^2=841
r=5*13^2=845
r=5^2*37=925
なる円ではどれも円周上に5個の格子点が存在できました。

偶数個もありかなと思いましたがどんな偶数でもとなると？
の感想を持ちました。

中心の分数の分子の平方和は分母の倍数でもいいみたいですね。
(1/13,5/13) → 1^2+5^2=13*2
(1/13,8/13) → 1^2+8^2=13*5
(2/13,3/13) → 2^2+3^2=13
(3/13/10,13) → これは多分(2/13,10/13)と(3/13,11/13)が混ざっちゃったみたいですね。
# (2/13,10/13) → 2^2+10^2=13*8, (3/13,11/13) → 3^2+11^2=13*10
(4/13,6/13) → 4^2+6^2=13*4
(4/13,7/13) → 4^2+7^2=13*5
(5/13,12/13) → 5^2+12^2=13*13
(6/13,9/13) → 6^2+9^2=13*9
(7/13,9/13) → 7^2+9^2=13*10
(8/13,12/13) → 8^2+12^2=13*16
(10/13,11/13) → 10^2+11^2=13*17
これらの組合せは平方和が分母の倍数になる組合せと一致していますね。

偶数は、例えば中心を(1/17,4/17)とすれば
r=13: 2個
r=650: 4個
r=1625: 6個
r=2665: 8個
r=21125: 10個
r=9425: 12個
r=17225: 14個
r=47125: 16個
r=86125: 18個
r=122525: 20個
r=99905: 22個
r=397085: 24個
r=1665625: 26個
r=612625: 28個
r=1119625: 30個
r=2911025: 32個
r=348725: 34個
r=499525: 36個
r=1298765: 38個
r=1533025: 40個
r=2566525: 42個
r=269187425: 44個
r=46191925: 46個
r=1743625: 48個
r=3531125: 50個
のようにありますので、（44個のようになかなか見つからないものもありますが）
任意の偶数個になり得る気がします。

とりあえず奇数だけ。
偶数は根底から発想を転換する必要がありそうですね。


「円周上の格子点の個数が 2k+1 個である、半径が整数の円が存在する」

自然数 n に対して、それを2つの整数の平方和で表す方法の数を f(n) と書くことにします。

r を整数とし、原点中心の半径 5r の円の上の格子点を考えます。
全部で f(25r^2) 個ある格子点のうち、x座標とy座標がともに5の倍数であるものは f(r^2) 個あります。
x座標が0のもの、y座標が0のもの、x座標とy座標の絶対値が等しいものは、すべてこの f(r^2) 個の中に含まれます。
よって、残りの f(25r^2)-f(r^2) 個は、x座標の符号反転、y座標の符号反転、x座標とy座標の交換による、8個1セットになっています。

さて、この8個1セットですが、5の倍数でない平方数を5で割った余りは1か4しかあり得ないので、x^2 と y^2 の片方は余りが1でもう片方は4です。
つまり、これら8個は5を法として (±1,±2), (±2,±1) と合同なものが1つずつです。

したがって、原点中心の半径5rの円の上の格子点に、(x,y)≡(-1,-2) (mod5)であるものは {f(25r^2)-f(r^2)}/8 個あります。
これをx軸方向に1、y軸方向に2並行移動してから、原点中心で 1/5 に縮小すると、半径 r で格子点が {f(25r^2)-f(r^2)}/8 個ある円になります。

あとは、{f(25r^2)-f(r^2)}/8 が任意の奇数 2k+1 を取れることを証明すればよいです。
r=13^k とすると、ヤコビの二平方定理より f(25r^2) = 12(2k+1), f(r^2) = 4(2k+1) なので、{f(25r^2)-f(r^2)}/8 = 2k+1 となります。

以上により示されました。

> "らすかる"さんが書かれました:

> (3/13/10,13) → これは多分(2/13,10/13)と(3/13,11/13)が混ざっちゃったみたいですね。

あ～見直したら(3/13,11/13)とタイプするべきを(3/13,10/13)と打ってしまっていました。

6個の格子点を持つものが中々見つけられずにいたので途方に暮れていたら
らすかるさんからの情報でやっと手に入りました。
(これだけ半径を大きくしないといけなかったんですね。44個では途方もない大きさなんだ！)
格子点の座標とその方程式が以下のものでした。

Points: [[-1472, -688], [-847, 1387], [-211, -1611], [521, -1539], [714, 1460], [1578, -388]]
Equation: (x - 1/17)^2 + (y - 4/17)^2 = 2640625(=1625^2)
--------------------------------------------------

Points: [[-1472, 689], [-847, -1386], [-211, 1612], [521, 1540], [714, -1459], [1578, 389]]
Equation: (x - 1/17)^2 + (y - 13/17)^2 = 2640625
--------------------------------------------------

Points: [[-1406, 815], [-1094, -1201], [-69, 1624], [425, -1568], [1073, -1220], [1606, 249]]
Equation: (x - 2/17)^2 + (y - 8/17)^2 = 2640625
--------------------------------------------------

Points: [[-1406, -814], [-1094, 1202], [-69, -1623], [425, 1569], [1073, 1221], [1606, -248]]
Equation: (x - 2/17)^2 + (y - 9/17)^2 = 2640625
--------------------------------------------------

Points: [[-1611, 212], [-1539, -520], [-688, 1473], [-388, -1577], [1387, 848], [1460, -713]]
Equation: (x - 4/17)^2 + (y - 16/17)^2 = 2640625
--------------------------------------------------

Points: [[-1568, -424], [-1220, -1072], [-1201, 1095], [249, -1605], [815, 1407], [1624, 70]]
Equation: (x - 8/17)^2 + (y - 15/17)^2 = 2640625
--------------------------------------------------

Points: [[-1623, 70], [-814, 1407], [-248, -1605], [1202, 1095], [1221, -1072], [1569, -424]]
Equation: (x - 9/17)^2 + (y - 15/17)^2 = 2640625

(x-3/17)^2+(y-5/17)^2=2640625 もあるかと思ったんですが、これはないんですね。
--------------------------------------------------

Points: [[-1459, -713], [-1386, 848], [389, -1577], [689, 1473], [1540, -520], [1612, 212]]
Equation: (x - 13/17)^2 + (y - 16/17)^2 = 2640625
--------------------------------------------------

> (x-3/17)^2+(y-5/17)^2=2640625 もあるかと思ったんですが、これはないんですね。

6個はないですが、
(-1596,305),(-636,-1495),(-601,1510),(919,-1340),(1434,765)
の5点が解になっていますね。

いくつか証明につながりそうな法則を見つけました。
(x-1/17)^2+(y-4/17)^2=r^2でrに対する通過格子点個数は
(1) r=5^k (k=0～13)のとき 1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,7
(2) r=13*5^k (k=0～11)のとき 2,3,5,6,8,9,11,12,14,15,17,18
(3) r=29*5^k (k=0～11)のとき 1,3,4,6,7,9,10,12,13,15,16,18
(4) r=41*5^k (k=0～11)のとき 1,2,4,5,7,8,10,11,13,14,16,17
よって
(1)または(1)の半分(kが偶数・奇数のどちらか)が証明できれば
任意の自然数に対して成り立つことになります。
また(2)は0,2(mod3)、(3)は0,1(mod3)、(4)は1,2(mod3)をカバー
しているように見えますので、(2)(3)(4)のうち二つ示すのでもOKですね。

(x-1/17)^2+(y-4/17)^2=r^2について見つけた法則(未証明)をまとめます。
上に書いたようにr=5^kのときすべての自然数が表れるため、これが正しければ
「任意の自然数が出現するか」という話については終わっているわけですが、
「あるnに対して実際にrを作って確認する」という話になると
r=5^kでは値が大きくなりすぎて現実的ではありません。
たとえばしばらく見つけられなかったn=44では5^87≒6*10^60という巨大な
値となり、単純な探索では実際に44個になっているか調べられません。
上の(2)～(4)ではn≡0,1,2(mod3)について計算できるため、こちら使うと
(2)から13*5^28≒5*10^20でよいことがわかります。(1)を使った場合より
かなり小さくなりましたが、まだ大きいです。
(1)は5^k型、(2)～(4)はp*5^k型ですが、さらに5以外の素数を増やします。
p*q*5^k型の場合
r=29*41*5^kのとき 2,7,11,16,20,25,29,34,38,43,…
r=13*29*5^kのとき 3,7,12,16,21,25,30,34,39,43,…
r=13*41*5^kのとき 3,8,12,17,21,26,30,35,39,44,…
r=13*89*5^kのとき 4,9,13,18,22,27,31,36,40,45,…
r=13*53*5^kのとき 5,9,14,18,23,27,32,36,41,45,…
いずれもk=0のときの値から+4,+5,+4,+5または+5,+4,+5,+4していった値になり
n≡0,2,3,4,5,7,8(mod9)は全て含まれています。
しかしn≡1,6(mod9)は含まれておらず、素数の範囲を拡大して調べましたが
上記の5パターン以外はどうも出現しないようです。
（そういう理由で「なかなか見つからないものがある」のだと思います）
n=44は含まれていて、13*41*5^9=1041015625で44個になることがわかります。
実際に数えると、1041015625で確かに44個になります。
しかし5以外の素数を増やすともう少し小さくなります。
以下長くなりますので詳細は省略しますが、
p^4*5^k → n≡0,2,4,7 (mod9)
p^5*5^k → n≡0,3,6,9 (mod11)
p^2*q*5^k → n≡0,4,5,7,8,11,12,13 (mod15)
p^3*q*5^k → n≡0,5,6,7,11,16,17 (mod21)
p^2*q^2*5^k → n≡0,6,7,12,19,20 (mod25)
p*q*r*5^k → n≡0,7,8,9,13,14,20,21,22,23 (mod27)
p^3*q^2*5^k → n≡0,10,11,18,28 (mod35)
p^2*q*r*5^k → n≡12,13,14,15,35,36,38 (mod45)
p^2*q^2*r*5^k → n≡20,22,23,57,58,60 (mod75)
p*q*r*s*5^k → n≡0,21,22,23,27,41,61,63,67 (mod81)
p^2*q*r*s*5^k → n≡35,37,45,103,105,112 (mod135)
ただし、上の方は広く探索して他の値が出そうにないことを確認していますが、
下半分ぐらいは(組合せが多すぎて)途中でやめていて、
たまたま出てきた値のみ書いていますので、全部の値を網羅していません。
特に上半分でn≡0が必ず含まれていることから、下半分もさらに調べれば
n≡0は含まれているものと思われます(経験的予想です)。
上記の中でn=44が含まれるものは
p^5*5^k の n≡0 (mod11) と
p^2*q^2*5^k の n≡19 (mod25)
であり
p^5*5^k型の最小は 13^5*5^7=29007265625
p^2*q^2*5^k型の最小は 29^2*37^2*5^3=143916125
となりますが、この143916125が以前見つけた値に該当しています。
つまりこれらのパターンを調べていれば、もっと早く発見できていました。

この時点でまだ発見できていなかったもの(偶数のみ)は
n=64,78,86,92,96,100,…
なので、もう少し計算してみました。
n=64はp^2*q*5^k型のn≡4 (mod15)から算出できて
最小29^2*37*5^8=12155078125となり、これは確かに64通りになっていました。
n=78はp*5^k型のn≡0 (mod3)しか該当するものがなく、値が大きくなりすぎます。
そこで「各パターンで≡0は存在するだろう」という予想のもとに
「mod39のパターンはどうすれば作れるか」を考えました。
素数の掛け方とmod値を眺めると、すべて
「(5以外の素数の指数)×2+1」の積
がmod値になっていることがわかります。
ということは、
p^6*q*5^k型にすれば(6×2+1)×(1×2+1)=39でmod39になるはずなので
これで考えてみると、13^6*53*5^(2k+1)で≡0(mod39)となることから
最小13^6*53*5^3=31977609625でn=78となることがわかります。
実際、r=31977609625で確かに78個になっていました。
（最初mod13で検討しましたが、値が235684033203125で大きすぎました）
次はn=86ですが、これはさすがに値が大きくなりすぎて(1683642578125)
計算上は出ても確認が無理でした(確認できる方法が他にあるかも知れません)。

考察
・たまたま上記パターンに合致すればrは小さな値になる
・合致するパターンのmod値が大きいほどrは小さい値になる傾向がある
・奇数の素因数が小さければ(2u+1)(2v+1)…という積に細かく
分解できるので、小さな値になりやすい
・素因数2の指数が大きい場合は、たまたまパターン中にあれば
rは小さく済むが、そうでない場合はrは大きくなる。特に2の累乗数は
1以外に奇数の約数がないためパターンに合致しにくい。例えばn=128は
p^2*q*r*5^k型のn≡38(mod45)に合致するので13^2*29*53*5^5=811728125で
済むが、n=64はよりmod値の小さいmod15にしか該当しないので
12155078125という大きな値になっている
・つまり「パターンに合致しない」「素因数2の指数が大きい」「大きい
素数を素因数に持つ」がrが大きくなる要因
・パターン中のp,q,r,…に使える有用な素数は、5より大きい4n+1型の素数
ただし17を除く（円の中心の分母が17であることと関係あると思います）
つまり13,29,37,41,53,61,73,89,97,101,109,113,137,…
そしてこの素数中、13,53,89,101,…を使うかどうか(いくつ使うか)により
値が大きく変わる傾向があるが、これらの素数の特徴は不明

まったく見当違いかも知れませんが
シンツェルの定理(Schinzel's thenorem)というものがあるらしく

ユークリッド平面において、任意の正整数nに対し
ちょうどn個の格子点を通る様な円が存在する。
(半径が整数であることは問うていない。)

n=2*kの時
(x-1/2)^2+y^2=5^(k-1)/4
n=2*k+1の時
(x-1･3)^2+y^2=5^(2*k)/9

これはこの問題にヒントを与えたり、利用したりは出来ない物だろうか？
半径を整数に指定することで全く異なる問題となってしまうのか？