😊出会いの泉😊

Σ[k=0～n](nCk)^4
の値(A005260参照)とその素因数分解をn=1～100まで出力して一時眺めてみました。
様々な素数が出力されており、一見無秩序な素数が並び中には巨大な素数も
出現してきて眼も眩む状態です。
大きな素数には目もくれず、例え連続している素数に着目したとしても
特にn=3,7ではその関係は途絶えていて、とても統一的な性質を持つとは
思えない風景です。
これに対し
n<p<4/3*n+1という一見何気ない条件で示されている不等式ですが
等号が入らない不等式のためnが素数であったり4/3*n+1が素数になる場合も
当然起こる(n=3,9,12,21,27,30,39,45,54,66,72,75,81,84,･･･)訳で
これで微妙に条件を満たす素数pの値がずれていきます。
プログラムで条件を満たす素数pを抜き出そうとしましたが途中頭が混乱して
結局手作業でnに対する条件を満たす素数のグループを書き出していくと
まさしくn=3,7ではpは存在できなく他の部分では正しくその条件にしっかりと
納まっている素数が各nに対し因数として鎮座しているではないか！

あの混沌とした中にこの微妙な式で示される針の穴を通すような枠の中に見事に
得体が未だ定かになっていない素数がおとなしくいるなんておったまげ～です。
気になり一気にn=100でも調査しましたが、p=101,103,107,109,113,127,131
いずれの素数は顔を揃えていました。
これってすべてのnでも成立するんですよね？
(リーマン仮説がいるのかな？）

<作業材料の参考>
gp > primes(33)
%599 =
[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47,
53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97,
101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137]

gp > for(n=1,100,print(n"=>",n,"<",(4/3*n+1)+0.))
1=>1<2.333333333 ;2
2=>2<3.666666667 ;3
3=>3<5.000000000 ;∅
4=>4<6.333333333 ;5
5=>5<7.666666667 ;7
6=>6<9.000000000 ;7
7=>7<10.33333333 ;∅
8=>8<11.66666667 ;11
9=>9<13.00000000 ;11
10=>10<14.33333333 ;11,13
11=>11<15.66666667 ;13
12=>12<17.00000000 ;13
13=>13<18.33333333 ;17
14=>14<19.66666667 ;17,19
15=>15<21.00000000 ;17,19
16=>16<22.33333333 ;17,19
17=>17<23.66666667 ;19,23
18=>18<25.00000000 ;19,23
19=>19<26.33333333 ;23
20=>20<27.66666667 ;23
21=>21<29.00000000 ;23
22=>22<30.33333333 ;23,29
23=>23<31.66666667 ;29,31
24=>24<33.00000000 ;29,31
25=>25<34.33333333 ;29,31
26=>26<35.66666667 ;29,31
27=>27<37.00000000 ;29,31
28=>28<38.33333333 ;29,31,37
29=>29<39.66666667 ;31,37
30=>30<41.00000000 ;31;37
31=>31<42.33333333 ;37,41
32=>32<43.66666667 ;37,41,43
33=>33<45.00000000 ;37,41,43
34=>34<46.33333333 ;37,41,43
35=>35<47.66666667 ;37,41,43,47
36=>36<49.00000000 ;37,41,43,47
37=>37<50.33333333 ;41,43,47
38=>38<51.66666667 ;41,43,47
39=>39<53.00000000 ;41,43,47
40=>40<54.33333333 ;41,43,47,53
41=>41<55.66666667 ;43,47,53
42=>42<57.00000000 ;43,47,53
43=>43<58.33333333 ;47,53
44=>44<59.66666667 ;47,53,59
45=>45<61.00000000 ;47,53,59
46=>46<62.33333333 ;47,53,59,61
47=>47<63.66666667 ;53,59,61
48=>48<65.00000000 ;53,59,61
49=>49<66.33333333 ;53,59,61
50=>50<67.66666667 ;53,59,61,67
51=>51<69.00000000 ;53,59,61,67
52=>52<70.33333333 ;53,59,61,67
53=>53<71.66666667 ;59,61,67,71
54=>54<73.00000000 ;59,61,67,71
55=>55<74.33333333 ;59,61,67,71,73
56=>56<75.66666667 ;59,61,67,71,73
57=>57<77.00000000 ;59,61,67,71,73
58=>58<78.33333333 ;59,61,67,71,73
59=>59<79.66666667 ;61,67,71,73,79
60=>60<81.00000000 ;61,67,71,73,79
61=>61<82.33333333 ;67,71,73,79
62=>62<83.66666667 ;67,71,73,79,83
63=>63<85.00000000 ;67,71,73,79,83
64=>64<86.33333333 ;67,71,73,79,83
65=>65<87.66666667 ;67,71,73,79,83
66=>66<89.00000000 ;67,71,73,79,83
67=>67<90.33333333 ;71,73,79,83,89
68=>68<91.66666667 ;71,73,79,83,89
69=>69<93.00000000 ;71,73,79,83,89
70=>70<94.33333333 ;71,73,79,83,89
71=>71<95.66666667 ;73,79,83,89
72=>72<97.00000000 ;73,79,83,89
73=>73<98.33333333 ;79,83,89,97
74=>74<99.66666667 ;79,83,89,97
75=>75<101.0000000 ;79,83,89,97
76=>76<102.3333333 ;79,83,89,97,101
77=>77<103.6666667 ;79,83,89,97,101,103
78=>78<105.0000000 ;79,83,89,97,101,103
79=>79<106.3333333 ;83,89,97,101,103
80=>80<107.6666667 ;83,89,97,101,103,107
81=>81<109.0000000 ;83,89,97,101,103,107
82=>82<110.3333333 ;83,89,97,101,103,107,109
83=>83<111.6666667 ;89,97,101,103,107,109
84=>84<113.0000000 ;89,97,101,103,107,109
85=>85<114.3333333 ;89,97,101,103,107,109,113
86=>86<115.6666667 ;89,97,101,103,107,109,113
87=>87<117.0000000 ;89,97,101,103,107,109,113
88=>88<118.3333333 ;89,97,101,103,107,109,113
89=>89<119.6666667 ;97,101,103,107,109,113
90=>90<121.0000000 ;97,101,103,107,109,113
91=>91<122.3333333 ;97,101,103,107,109,113
92=>92<123.6666667 ;97,101,103,107,109,113
93=>93<125.0000000 ;97,101,103,107,109,113
94=>94<126.3333333 ;97,101,103,107,109,113
95=>95<127.6666667 ;97,101,103,107,109,113,127
96=>96<129.0000000 ;97,101,103,107,109,113,127
97=>97<130.3333333 ;101,103,107,109,113,127
98=>98<131.6666667 ;101,103,107,109,113,127,131
99=>99<133.0000000 ;101,103,107,109,113,127,131
100=>100<134.3333333 ;101,103,107,109,113,127,131

＞これってすべてのnでも成立するんですよね？

するっぽいのですが、きちんと「定理」となっているのを見たわけではなく
似たような質問をしている人がいたことから自分で数値的に調べて
成り立っている様子が観察できました。
ちなみに100程度だと大した個数にならないので「へぇ～」ぐらいの感想なのですが、
n=10000で調べて10007,10009,10037,…,13331という354個の素因数が
すべて含まれているのを確認したときは圧巻でした。
そんなに素因数が連続している数は、素数階乗のように故意に掛けない限り
今まで見たことないですからね。
（n=100000で100003～133327の2852個の素因数がすべて含まれていることまでは確認しました）
ちなみに、n＜p＜(4/3)n+1の中の最大の素数の次の素数も素因数に含まれているものは
n=5, 2816, 5466, 15067, …のようにたまにしかないみたいです。

らすかるさんに刺激を受け
n=200000で200003～266663の5378個の素因数がすべて
S=Σ[k=0～200000](nCk)^4の数に含まれていることが確認できました。
P=[200003,200009,200017,･･････,266641,266647,266663]
に対し
gp > apply(i->valuation(S,i),P)
%=[1,1,1,･･･････,1,1,1](5378個の1が並びました)
実際画面いっぱいに1が並ぶ光景は壮観です。

もう信じるしかないですね。
でも何故4乗和なんでしょうかね？
OEISには
Sum_{k = 0..n} C(n,k)^m for m = 1..12:
A000079, A000984, A000172, A005260, A005261, A069865, A182421, A182422, A182446, A182447, A342294, A342295.
12乗までの和が載っていますから、別の累乗でも十分に調査済みなのでしょうね。

改めてn<p<4/3*n+1
の条件を良くも思い付いたなと(この範囲に効率よくも素数が集まってしまうのか！）感心してしまいます。

今まだ確認中ですが(現在n≦10000で確認済み)、素因数を眺めていたところ
n＜p＜(4/3)n+1 = (4n+3)/3 だけでなく
n/2＜p＜(4n+3)/7
n/3＜p＜(4n+3)/11
n/4＜p＜(4n+3)/15
n/5＜p＜(4n+3)/19
n/6＜p＜(4n+3)/23
・・・
n/k＜p＜(4n+3)/(4k-1)
（1≦k≦n）
の範囲のすべての素因数を持つらしいこともわかりました。
n=200000の場合は
200003～266663 (k=1;5378個) だけでなく
100003～114281 (k=2;1223個)
66683～72727 (k=3;548個)
50021～53327 (k=4;307個)
40009～42101 (k=5;200個)
・・・
1667～1669 (k=120;2個) ← 複数個の最後
・・・
71 (k=2817;1個)
59 (k=3390;1個)
11 (k=18182;1個)
3 (k=66667;1個)
の範囲内の素数をすべて素因数に持っていることになります。

(5月15日追記)
n≦30000で成り立っていました。

n＜p＜(4/3)n+1 = (4n+3)/3 だけでなく
n/2＜p＜(4n+3)/7
n/3＜p＜(4n+3)/11
n/4＜p＜(4n+3)/15
n/5＜p＜(4n+3)/19
n/6＜p＜(4n+3)/23
・・・
n/k＜p＜(4n+3)/(4k-1)
（1≦k≦n）
の範囲のすべての素因数を持つらしいこともわかりました。

らすかるさんすごい。
素因数を眺めていたことでこんなことに気付けるんですか？
始めの範囲に比べ存在している素数は減っては行きますが確実に素因数に含まれる素数が並んでいますね。
素数の出現と組合せ関数の目に見えぬ結びつきが見えない糸に引き寄せ合いられながら手繰り寄せられている。
n=200000での∑の莫大な数に含まれている素数を計算させていてもいくら時間をかけても一向に姿を示してくれなくて
別の手法でチェックしていただけでしたので、こんな世界が開けているとは思ってもみませんでした。
例え具体的素数が並んでいても全く気付けないと思います。
ちなみにAIに
Σ[k=0～n](nCk)^4 は
n＜p＜(4/3)n+1 を満たすすべての素数pで割り切れるは定理にできますか？
と質問してみると
主張は定理として正しく言えます（既知の結果として文献にも出てきます）。
との返事を返してきていました。

下記の URL にある PDF に証明っぽいものがあります。

https://www.cip.ifi.lmu.de/~grinberg/pene16.pdf

私はまだ全体を読んでいません

こちらも関連するのかも？

https://artofproblemsolving.com/community/p849499

証明が長い・・・