二項係数の平方和の性質
前回には二項係数の4乗和を元にそこに含まれて来る素数がテーマになっていましたので
今度は二項係数の2乗和を元にその性質を調べてみることにした。
∑[k=0,n]binomial(n,k)^2=binomial(2*n,n)
なので言わば最も素因数が集まる所でもある。
そうした中央部での二項係数の式に着目するとzeta関数と深くつながり
zeta(2)=3*∑[n=1,oo]1/(n^2*binomial(2*n,n))
zeta(3)=5/2*∑[n=1,oo](-1)^(n-1)/(n^3*binomial(2*n,n))
zeta(4)=36/17*∑[n=1,oo]1/(n^4*binomial(2*n,n))
zeta(5)=27/152*√3*π*lfun(-3,4)+3/171*π^2*zeta(3)-3/19*∑[n=1,oo]1/(n^5*binomial(2*n,n))
zeta(7)=297/1972*√3*π*lfun(-3,6)+8/493*π^2*zeta(5)+2/3915*π^4*zeta(3)-24/493*∑[n=1,oo]1/(n^7*binomial(2*n,n))
＊lfun(-3,4)aは3と素である数の4乗での逆数和(1+1/2^4+1/4^4+1/5^4+1/7^4+1/8^4+1/10^4+･･･の無限和)
＊lfun(-3,6)aは3と素である数の6乗での逆数和(1+1/2^6+1/4^6+1/5^6+1/7^6+1/8^6+1/10^6+･･･の無限和)
を求めるコマンドです。
なおzeta(6)はまだ作れずにいます。
何方かこの値を算出できる∑[n=1,oo]1/(n^6*binomial(2*n,n))部分を含む完結式が出来ましたら教えて下さい。
