😊出会いの泉😊

下記であっていますか？

n*(n +1)*(n +2)*(n +3)*(n +4)*(n +5)
(n^4/2 +5*n^3 +16*n^2 +(35*n)/2 +2)^2 -(n^4/2 +5*n^3 +15*n^2 +(25*n)/2 -2)^2

※別解もあるのかもしれず、ずっとあれこれこねくりまわしております。

合っていますね。
((a+b)/2)^2-((a-b)/2)^2=abから
nが偶奇の同じa,bの積で表せれば平方数の差で表せます。
例えば

a=(n+3)(n+4)(n+5), b=n(n+1)(n+2)とすれば
(a+b)/2=n^3+15n^2/2+49n/2+30
(a-b)/2=9n^2/2+45n/2+30
なので
n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)=(n^3+15n^2/2+49n/2+30)^2-(9n^2/2+45n/2+30)^2

a=n(n+3)(n+5), b=(n+1)(n+2)(n+4)とすれば
(a+b)/2=n^3+15n^2/2+29n/2+4
(a-b)/2=n^2/2+n/2-4
なので
n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)=(n^3+15n^2/2+29n/2+4)^2-(n^2/2+n/2-4)^2

a=(n+2)(n+3)(n+4)(n+5), b=n(n+1)とすれば
(a+b)/2=n^4/2+7n^3+36n^2+155n/2+60
(a-b)/2=n^4/2+7n^3+35n^2+153n/2+60
なので
n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)=(n^4/2+7n^3+36n^2+155n/2+60)^2-(n^4/2+7n^3+35n^2+153n/2+60)^2

などのようにいろいろな組み合わせが作れます。

Dengan kesaktian Indukmuさんが書かれた例は
a=n(n+2)(n+3)(n+5), b=(n+1)(n+4)
のようにおいたものと一致しますね。

あっ。そういう追い方をするのでしたか。
ありがとうございます。スッキリしました。

3以上の奇数は全て2個の平方数の差で構成可能が言えますね。
その中でも最も分割可能となるものは異なる奇素数を多く含む奇数が
予想出来るので、ちなみに6個の異なる奇素数を含む
N=3*5*7*11*13*17=255255
を2つの平方数の差で表せるパターンがどれだけ可能か予測してみました。
６つの素因数を2組(a,b)に分ける方法は
どんなに分けようともa,bは共に奇数にしかならないから、a,bから作られる
A=(a+b)/2;B=(a-b)/2は共に整数となりA^2-B^2はNを作ってくれる。

さてa,bへの分け方は
6C0=1　(1 VS 255255）
6C1=6
6C2=15
6C3/2=10(大小を区別するため）
全部で32通り可能
(n+1)^2-n^2=2*n+1=255255
からn=127627までが範囲ということで

チェックしてみた。
gp > {t=0;}for(a=1,127628,for(b=1,a-1,if(a^2-b^2==255255,print(t++";"a"^2-"b"^2"))))
1;508^2-53^2
2;512^2-83^2
3;524^2-139^2
4;536^2-179^2
5;604^2-331^2
6;628^2-373^2
7;668^2-437^2
8;688^2-467^2
9;752^2-557^2
10;776^2-589^2
11;856^2-691^2
12;964^2-821^2
13;1132^2-1013^2
14;1268^2-1163^2
15;1448^2-1357^2
16;1544^2-1459^2
17;1696^2-1619^2
18;1996^2-1931^2
19;2348^2-2293^2
20;2528^2-2477^2
21;3292^2-3253^2
22;3664^2-3629^2
23;3884^2-3851^2
24;6088^2-6067^2
25;7516^2-7499^2
26;8516^2-8501^2
27;9824^2-9811^2
28;11608^2-11597^2
29;18236^2-18229^2
30;25528^2-25523^2
31;42544^2-42541^2
32;127628^2-127627^2

予想通り32のパターンで255255の数字は２個の平方数の差で作ることが出来た。

通常{2^n};1,2,4,8,16,32,････(n=0,1,2,･･･)
を示すのに二項係数を使って
∑[i=0,n]C(n,i)が多用されている。

しかし例の異なる奇素数をｋ個含む場合の2つの平方数の差で構成する方法を
考える中で何も上記の式に寄らなくてもパスカルの三角形をもう一段降りて
2C0+2C1+2C2=1+2+1=4を
3C0+3C1=1+3=4

3C0+3C1+3C2+3C3=1+3+3+1=8を
4C0+4C1+4C2/2=1+4+3=8

4C0+4C1+4C2+4C3+4C4=1+4+6+4+1=16を
5C0+5C1+5C2=1+5+10=16

5C0+5C1+5C2+5C3+5C4+5C5=1+5+10+10+5+1=32を
6C0+6C1+6C2+6C3/2=1+6+15+10=32
としても不都合は起こらない。

これから一般に
G(n)=if(n%2==1,sum(i=0,floor(n/2),C(n,i)),sum(i=0,n/2-1,C(n,i))+C(n,n/2)/2);
としてやれば
gp > for(n=1,20,print(n";"G(n)"=2^"n-1))
1;1=2^0
2;2=2^1
3;4=2^2
4;8=2^3
5;16=2^4
6;32=2^5
7;64=2^6
8;128=2^7
9;256=2^8
10;512=2^9
11;1024=2^10
12;2048=2^11
13;4096=2^12
14;8192=2^13
15;16384=2^14
16;32768=2^15
17;65536=2^16
18;131072=2^17
19;262144=2^18
20;524288=2^19

私には全く今まで気付きもしなかった視点でした。