探し足りないのか？
nを自然数とするとき
g=gcd(9^n+18,18^n+9)
の値gは何でしょうか？
n=1 のとき g=27
n≡161 (mod 162) のとき g=1467
それ以外のとき g=9
でしょうか。
（nが大きいとき他の値をとる？）
はい。
もっと大きな所で探していたら突然これ以外が現れました。
しかしそれ以上があるのと言われたら何とも言えないのですが・・・
多分
n≡35281 (mod 37170) のとき g=334539
ですね。
この上は現在探索中です。
（しばらく見つからなければ諦めます）
その後しばらく探しましたが、見つかりませんでした。
おそらくn＜1億では他にないと思います。
10^5までで3時間30分ほど
10^6で9時間30分ほどの時間がかかるので
オーダーが一桁上がると指数関数的に所要時間が延びる
従って10^9ともなると243時間以上(10日以上)の時間がかかりそうです。
(裏話)
所で2024年度イギリスで開催された国際数学オリンピック大会で
問題2（全部で6題の問題が出される)に
正の整数の組(a,b)であって、次を満たす正の整数gとNが存在するようなものをすべて求めよ。
任意の整数Nについてgcd(a^n+b,b^n+a)=g が成り立つ。
(ただし、正の整数x,yに対し、xとyの最大公約数をgcd(x,y)で表す。)
この解答が
求める正の整数組は(a,b)=(1,1)に限る
であるという。（全問正解者がいるというのだからそれはすごい)
ということは必ずやあるN以上の自然数nすべてで一定のgの値で固定してしまうことは起こらないわけで
gcd(9^n+18,18^n+9)の値は9が圧倒的に出現回数が起こるが、ここで調査したように
n≡-1 (mod 162)ではg=1467
n≡-1889 (mod 37170)ではg=334539
（今のところ他は不明)
がずっと続くのだからこの反例とはならない。
この問題を知って(a,b)をいろいろ変えて調査していた時
(a,b)=(6,18)==>６が続くもn=49で366へ移る
(a,b)=(10,15)==>5が続くもn=71で5045となり
(a,b)=(9,18)==>9が続くもn=161で1467が出現
ということで(9,18)の場合を出題しておりました。
この問題の正解への導き方が想像にも及ばない。
