😊出会いの泉😊

問題をよく読んでなくて実数全体で解いてしまいましたが、負の解を出すのに苦労しましたのでそのまま書きます。
x+√(x(x+2))+√(x(x+3))+√((x+2)(x+3))=6
この式からx≦-3またはx≧0
√(x(x+2))+√(x(x+3))=6-x-√((x+2)(x+3))
x(x+2)+x(x+3)+2√(x^2(x+2)(x+3))=(x-6)^2+(x+2)(x+3)+2(x-6)√((x+2)(x+3))
12x-42=2(x-6)√((x+2)(x+3))-2√(x^2(x+2)(x+3))
6x-21=(x-6)√((x+2)(x+3))-√(x^2(x+2)(x+3))
36x^2-252x+441=(x-6)^2(x+2)(x+3)+x^2(x+2)(x+3)-2(x-6)√((x(x+2)(x+3))^2)
2x^4-2x^3-48x^2+360x-225=2(x-6)|x(x+2)(x+3)|
x≦-3の場合
2x^4-2x^3-48x^2+360x-225=-2(x-6)x(x+2)(x+3)
4x^4-4x^3-96x^2+288x-225=0
適解は
x={1-√(65+(8√13)sin((1/3)arctan(3√6343/289)+π/6))-
√(130-(8√13)sin((1/3)arctan(3√6343/289)+π/6)+
2√(4017-(8√76414)cos((1/3)arctan(159846337√6343/4366032789)+π/6)))}/4
(=-5.7113523237167609662912199429866925479…)
x≧0の場合
2x^4-2x^3-48x^2+360x-225=2(x-6)x(x+2)(x+3)
48x-25=0
∴x=25/48
従って解は
x=25/48,
{1-√(65+(8√13)sin((1/3)arctan(3√6343/289)+π/6))-
√(130-(8√13)sin((1/3)arctan(3√6343/289)+π/6)+
2√(4017-(8√76414)cos((1/3)arctan(159846337√6343/4366032789)+π/6)))}/4
の二つ

解く前に様子を見るためにグラフソフトで与式を見てみると
正、負に一個ずつ実数解を持つことは見えたのですが
これが何かを求めようにもあまりに根号が邪魔をして、途中
変形をし続ける気力を失っていました。
正の解だけを求められていたのですが、仕方なくsolveコマンド
に頼って
gp > solve(x=0,1,x+sqrt(x*(x+2))+sqrt(x*(x+3))+sqrt((x+2)*(x+3))-6)
%42 = 0.52083333333333333333333333333333333334
gp > bestappr(%42)
%43 = 25/48
gp > solve(x=-6,-5,x+sqrt(x*(x+2))+sqrt(x*(x+3))+sqrt((x+2)*(x+3))-6)
%44 = -5.7113523237167609662912199429866925479
gp > algdep(%44,4)
%45 = 4*x^4 - 4*x^3 - 96*x^2 + 288*x - 225
でこの4次関数は既約でとてもじゃないが解を求める手段はフェラーリの公式
以外になく、求められたとしても想像を絶する式となるだろうと思っていました。
なんとらすかるさんはこれを正確に求めているのですね。

我慢できなく解法を見てみると何と正の解を出すための超絶技巧として
次の手段を示されていました。

a=√x,b=√(x+2),c=√(x+3)と置くと
与式=a^2+a*b+a*c+b*c=6
a^2+a*(b+c)+b*c=6
(a+b)*(a+c)=6･････････①

与式の両辺に2を足して
x+2+a*b+a*c+b*c=8
b^2+b*(a+c)+a*c=8
(b+a)*(b+c)=8･････････②

与式の両辺に3を足して
x+3+a*b+a*c+b*c=9
c^2+c*(a+b)+a*b=9
(c+a)*(c+b)=9･････････③

①②③を辺々かけて
((a+b)*(b+c)*(c+a))^2=6*8*9=2^4*3^3
これより
(a+b)*(b+c)*(c+a)=2^2*3*√3=12√3････④
④/①から
b+c=2√3･････････････④
④/②から
a+c=3√3/2･･･････････⑤
④/③から
a+b=4√3/3･･･････････⑥

④+⑤+⑥から
2*(a+b+c)=29√3/6
これより
a+b+c=29√3/12･･･････⑦

⑦-④から
a=29√3/12-2√3=5√3/12

従って求めるx=a^2=25/48
（あ～こんな発想思い付くわけないぞ!!）