😊出会いの泉😊

S1 = π/(2√3)
S2 = π/√6
S3 = π/3
S4 = log(2+√3)/√3
かな？

全て正解です。
(4)はasinh(√3)/√3　(asinh(x)はハイパボリックアークサイン)の式でも可です。

調和数列が、発散することから、
等差数列の逆数和も発散する。
公差がいくつでも、間が空いても、発散する。

等差数列の逆数和も発散する。
だが符号を交互にした交代級数にすると収束できます。
初項を1、公差をdにすると
d=1; S1=1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+･････=log(2)
d=2; S2=1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+･････=π/4
d=3; S3=1-1/4+1/7-1/10+1/13-1/16+･････=(π+√3*log(2))/(3*√3)
d=4; S4=1-1/5+1/9-1/13+1/17-1/21+･････=√2/8*(π+2*log(1+√2))
d=5; S5=1-1/6+1/11-1/16+1/21-1/26+･････=(2*log(2)+√(2+2/√5)*π+√5*log((3+√5)/2))/10
d=6; S6=1-1/7+1/13+1/19-1/25+1/31-1/37+･････=0.9037717737487720468･････
d=7; S7=0.91547952683･････
d=8; S8=0.92465170577･････
d=9; S9= 0.93203042415･････

S6とS8は
S6=(π+(√3)log(2+√3))/6
S8=(√(4+2√2)π+√(2-√2)log(7-4√2+2√(20-14√2))+√(2+√2)log(7+4√2+2√(20+14√2)))/16
と書けますね。

どうしてS7を飛ばしてS8（これも結構複雑）を出されたのだろうと
何気にS7へ挑戦していたら、たっぷりと時間をとられて

S7=1/7*(log(2)-2*sin(π/14)*log(2*sin(3*π/14))-2*cos(π/7)*log(2*sin(π/14))+2*sin(3*π/14)*log(2*cos(π/7)))+π/28*tan(π/14)+1/tan(π/14))

なる決して美しくはない式でした。

なるべく統一して
t=sin(π/14)と置いて
S7=1/7*(log(2)-2*t*log(2*(3*t-4*t^3))-2*(1-2*t^2)*log(2*t)+2*(3*t-4*t^3)*log(2*(1-2*t^2)))+π/(28*t*sqrt(1-t^2))

で少しはショートに

S7の式をこねくり回して何とかきれいな形にしたところ、
S3,S5,S7,S9は同じ形で書けることがわかりました。

S3=(2/3){π/(4sin(π/3))
-cos(π/3)log(sin(π/6))}

S5=(2/5){π/(4sin(π/5))
-cos(π/5)log(sin(π/10))
-cos(3π/5)log(sin(3π/10))}

S7=(2/7){π/(4sin(π/7))
-cos(π/7)log(sin(π/14))
-cos(3π/7)log(sin(3π/14))
-cos(5π/7)log(sin(5π/14))}

S9=(2/9){π/(4sin(π/9))
-cos(π/9)log(sin(π/18))
-cos(3π/9)log(sin(3π/18))
-cos(5π/9)log(sin(5π/18))
-cos(7π/9)log(sin(7π/18))}

n=2m+1（m≧1）のとき
Sn=(2/n){π/(4sin(π/n))-Σ[k=1～m]cos((2k-1)π/n)log(sin((2k-1)π/(2n)))}
が成り立ちそうですね。

(追記)
偶数も

S2=(2/2){π/(4sin(π/2))
-cos(π/2)log(sin(π/4))}

S4=(2/4){π/(4sin(π/4))
-cos(π/4)log(sin(π/8))
-cos(3π/4)log(sin(3π/8))}

S6=(2/6){π/(4sin(π/6))
-cos(π/6)log(sin(π/12))
-cos(3π/6)log(sin(3π/12))
-cos(5π/6)log(sin(5π/12))}

S8=(2/8){π/(4sin(π/8))
-cos(π/8)log(sin(π/16))
-cos(3π/8)log(sin(3π/16))
-cos(5π/8)log(sin(5π/16))
-cos(7π/8)log(sin(7π/16))}

のように書けるようです。
偶奇合わせて
Sn=(2/n){π/(4sin(π/n))-Σ[k=1～[n/2]]cos((2k-1)π/n)log(sin((2k-1)π/(2n)))}
でOKでした。
（奇数の式のΣの終値のmを[n/2]に変えただけです）

昔この極限値はガンマ関数（gamma(x))を真数にとった対数(log(gamma(x)))の
導関数をとったd(log(gamma(x))/dxをpsi(x)関数と表示し
psi(x)=gamma'(x)/gamma(x)
の性質を利用することで、この公差d（初項は1)の等差数列の逆数での交代級数の
極限和T(d)が

T(d)=(psi((d+1)/(2*d))-psi(1/(2*d)))/(2*d)

で算出できるところから、数値を算出していました。

今回らすかるさんの式

S(n)=(2/n)*(Pi/(4*sin(Pi/n))-sum(k=1,floor(n/2),
cos((2*k-1)*Pi/n)*log(sin((2*k-1)*Pi/(2*n)))))

で2つの数量を見較べましたらピタリ２つは一致しました。(n=1は除外）


また以前こんな計算をしていて不思議に思ったことに
zeta(3) =1+1/2^3+1/3^3+1/4^3+1/5^3+･･･
3/4*zeta(3)=1-1/2^3+1/3^3-1/4^3+1/5^3-･･･
には円周率が現れないのに(zeta(5)にも)
1-1/3^3+1/5^3-1/7^3+1/9^3-1/11^3+･･･＝π^3/32
上の応用で(psi''(3/4)-psi''(1/4))/128 より計算可能('記号は微分を示す。)

1-1/3^5+1/5^5-1/7^5+1/9^5-1/11^5+･･･＝5*π^5/1536
(psi''''(3/4)-psi''''(1/4))/24576　より計算可能

と公差2で交代級数をとれば円周率が姿を現す。（他の公差dでは現れない。）

ディリクレ指標[1,-1,0]のL関数でも
1-1/2^3+1/4^3-1/5^3+1/7^3-1/8^3+1/10^3-1/11^3+･･･=4*π^3/(81*sqrt(3))
1-1/2^5+1/4^5-1/5^5+1/7^5-1/8^5+1/10^5-1/11^5+･･･=4*π^5/(729*sqrt(3))
やはり円周率が顔をのぞかせる。

たとえ交代級数的でもなく,＋符号だけの等差数列数のものでも
1/3^3+1/7^3+1/11^3+1/15^3+･･･+1/(4*n-1)^3+･･･=7/16*zeta(3)-π^3/64
やはり円周率が顔をのぞかせる。

ほんんとに無限は不思議です。

無限級数で、Σ１/N(数字の０の表示された数を除く)
が、収束することが知られていますが、
収束値が、２０くらいだったようですが、御存知の方よろしくお願いします。他の数字を除いた場合も調べています。

0を除く oeis.org/A082839 23.103447909420541616034054043325598138302800005282141886723094772…
1を除く oeis.org/A082830 16.176969528123444266579603880364009305567219790763133864516906490…
2を除く oeis.org/A082831 19.257356532808072224532776770194454115526053831154870149868362949…
3を除く oeis.org/A082832 20.569877950961230371075217419053111414153869674730783489508528500…
4を除く oeis.org/A082833 21.327465799590036686639401486939512843750951703270021817251189541…
5を除く oeis.org/A082834 21.834600812296918163407235040609182717846567515013918291679359184…
6を除く oeis.org/A082835 22.205598159556091884167380480007527105193856106668463270276938233…
7を除く oeis.org/A082836 22.493475311705945398176226915339775974005915541672512361791460444…
8を除く oeis.org/A082837 22.726365402679370602833644156742557889210702616360219843536376162…
9を除く oeis.org/A082838 22.920676619264150348163657094375931914944762436998481568541998356…
参考
http://shochandas.xsrv.jp/series/harmonicseries.htm

らすかるさん、いつも、ありがとうございます。
以前にも、同様の内容がありましたが、
０の数字を除いた極限値が一番大きくて、
１の数字を除いた極限値が一番小さい。
極限値の比較は、容易に示せたりしますか？
曖昧な質問ですが、知りたいです。
今、数字１のみで表される（１，１１，１１１，…）の逆数和をSとして、数字２のみで表される（２，２２，２２２，…）の極限値は２S。
多分、収束するとしてですが、調査中です。

1+1/11+1/111+…の極限値は
↓こちらにあります。
http://oeis.org/A065444
これが収束することは
1+1/11+1/111+…＜1+1/10+1/100+…=10/9から言えますね。
1/2+1/22+1/222+…の極限値は上記の半分です。

早速、ありがとうございます。
１/9=1/10+1/100＋…
　　　＜1/(10-1)+1/(100-1)+…
＝1/9+1/99+1/999+
=1/9(1+1/11+1/111+…)＝ｓ/9
1<s=
まで

s=1+1/11+1/111+…なのでs＞1は自明ですが、No.334の意図は何でしょうか？
ところで
1,1/11,1/111,…を1/9した1/9,1/99,1/999,…の小数を並べて書くと
0.11111111111111111111…
0.01010101010101010101…
0.00100100100100100100…
0.00010001000100010001…
0.00001000010000100001…
これを縦に足すと
小数第1位は 1の(正の)約数の個数
小数第2位は 2の約数の個数
小数第3位は 3の約数の個数
小数第4位は 4の約数の個数
小数第5位は 5の約数の個数
小数第6位は 6の約数の個数
・・・
のようになり、1,2,3,…の約数の個数は
1,2,2,4,2,4,2,4,3,4,2,6,2,4,4,5,2,6,2,6,…
ですから、
0.12242424342624452626…
を9倍すれば1+1/11+1/111+…の収束値になりますね。
（ただし約数の個数が10以上のときは上の桁に繰り上げる）