大きな数での不思議
a(n)=∑[k=1,n]gcd(k,n)
とするとき
{a(n)}:1,3,5,8,9,15,･･･
a(n)+1≡0 (mod n) <==> nは素数である
を予想するものを知りました。
確かにn=2～1000までの様子を見てみると
gp > a(n)=sum(k=1,n,gcd(k,n))
gp > for(n=2,1000,if(Mod(a(n)+1,n)==0,print1(n",")))
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47,
53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113,
127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197,
199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281,
283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379,
383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463,
467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571,
577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659,
661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761,
769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863,
877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977,
983, 991, 997,
primes(primepi(1000))
[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47,
53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113,
127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197,
199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281,
283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379,
383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463,
467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571,
577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659,
661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761,
769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863,
877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977,
983, 991, 997]
でピタリあてはまります。
ところがN=3*37*43*42307*116341(=23492890653051)
となった部分で
a(N)=610815156979325で
a(N)+1= 610815156979326 = 26*23492890653051 =26*N
つまり
a(N)+1≡0 (mod N) にもかかわらず Nが合成数
となり予想はここで破綻してしまう。
（こんな大きな値で初めて破綻してしまうとは････)
さてこんな破綻を与えてしまう他のnはあるのか？
「5個の相異なる素数の積」という条件で検索すると
提示されたNはあっという間に見つかるのですが、
この条件では他にはなさそうでした。
（この条件を満たすものは他にあっても有限個だと思います）
「4個」以下ではおそらく存在せず、「6個」「7個」を
しばらく検索してみたのですが、見つかりませんでした。
（7個以上は「すべて検索」は時間的に無理）
p^3×q^2×r×s×tなど、指数が2以上のものも含めれば
見つかるのかも知れませんが、
組合せが多すぎるのとそれぞれの計算式を作るのも
大変そうなので、諦めます。
(追記)
p^2で割り切れるとき、gcdの合計がpで割り切れるようなので
条件は満たさないですね。
よって「相異なる素数の積」の素数の個数を多くして探すしかない、ということになると思います。
相異なる素数の積しかない、とわかったところで
もう少しプログラムを改良して変数値範囲も広げ、
6素数の積について探してみたら、一つ見つかりました。
N = 2*13*151*34649*64783*929765438293 = 8193613126657808805087106
のとき
a(N) = (2*2-1)(2*13-1)(2*151-1)(2*34649-1)(2*64783-1)(2*929765438293-1)
= 376906203826259205034006875
で
a(N)+1 = 376906203826259205034006876 = 46*8193613126657808805087106
なので
a(N)+1≡0 (mod N) かつ Nが合成数
となります。
# 8193613126657808805087106で検索すると、既に他の人が見つけていたということもわかりました。
らすかるさん凄い！
A018804に是非登録してください。
もし存在するならどういう条件かを確定させて探られていることに感心します。
たとえ相異なる素数の積という条件でも6個の素数の組合せなんてとんでもない数に
なると思うし、果たしてどこまでの素数を使用するかによってその数は全く異なって
きます。
結果を見る限り、素数の大きさが12桁まで広がっているので、この素数になるまで
gp > primepi(929765438293)
%417 = 35062717755(個)の素数がありますから
gp > binomial(35062717755,6)
%418 = 2580720418848458496825306224464616005861484887789012966085250(通り)
なる天文学的組合せになります。
こんな可能性から、例の
N = 2*13*151*34649*64783*929765438293
を探し出すなんて麦わらの山から一本の黄金の針を探し出す行為に例えられます。
どれほどの探索時間を要したのですか？
なおメモに
# 8193613126657808805087106で検索すると、既に他の人が見つけていたということもわかりました。
がありましたが私もいろいろこの数字で検索かけましたが、全く関係しないものしか現れなくて
これを拾い出すのはどんな手法なのかが知りたいです。
例のAIに尋ねても分かりませんでした。
探索時間は、1秒ぐらいです。
たまたま「先頭の方」にあって、かつ小さい5個の素数が
32ビット以内だったため運よく見つかっただけです。
「先頭の方」になければ延々と見つからなかったと思います。
現に、条件を絞って「6素因数の2個目」を探していますが、終わりが見えません。
探索方法は、「小さい順に決めていく」方法です。
a＜b＜c＜d＜e＜fとして、まずaは2,3,5,…ですがたまたまa=2の解がありました。
bは単純に考えると3,5,7,11,13,…ですが、
(2a-1)(2b-1)(2c-1)(2d-1)(2e-1)(2f-1)+1 が abcdef で割り切れなければならないため
b=3は不適です。（2a-1=3なので分子は3で割り切れず、分母に3があってはならないためです））
よってbは5から開始することになります。
この処理は他の変数を決めるときにも行います。例えばb=7のとき2b-1=13なのでcやdを
13にすることはできません。
あと、いくつかの変数を決めた段階でそのときの(Σgcd+1)/Nの最小値・最大値が決まりますが、
その範囲に整数が存在しないことが多々あります。（例えば最小値26.2、最大値26.9など）
そのときに探索をやめて変数の値を次の値にすると、かなり速くなります。
そして未定の変数が残り二つになったとき（つまりa,b,c,dを決めたとき）に
残りの二つは (Ae+B)(Af+B)=kC という方程式を立て、kを(Σgcd+1)/Nの最小値～最大値の
範囲、eをd＜e＜(√(kC)-B)/Aの範囲で変化させてfが素数になるものを探しています。
8193613126657808805087106 については、こちらの環境でググると
↓このサイトが見つかります。
math.stackexchange.com/questions/5074339/pillais-sum-of-gcd-arithmetical-function-and-primality
こちらでは1年前に同じ値が発見されていますので、私がA018804に登録するのはちょっと…
