有理数と２次無理数の違い
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9F%E3%83%B3%E3%82%B3%E3%83%95%E3%82%B9%E3%82%AD%E3%83%BC%E3%81%AE%E7%96%91%E5%95%8F%E7%AC%A6%E9%96%A2%E6%95%B0
にミンコフスキーの疑問符関数(?(x))というものが考えられている。
話を限定するために今考えるｘの範囲を[0,1]区間の有理数及び２次無理数(a+b*sqrt(p))
(a,b;有理数,p;平方因子を含まぬ整数)とすれば
xが有理数なら連分数表示は有限で、２次無理数ならある部分からサイクルが繰り返される。
こうしてxの連分数表示を2の指数部へ用いることで、ここに定義された?(x)関数は区間[0,1]
からそれ自身への全射対応の単調増加な連続関数を与える。
この関数を利用して計算してみると
?(1/2)=1/2
?(2/3)=3/4
?(3/5)=5/8
?(5/8)=11/16
･････
?(10/19)=513/1024
等々xが有理数なら計算結果は必ず分母は偶数(しかも2の冪に限る。)
そこで、計算結果に着目し
1/2=?(1/2)
1/4=?(1/3)
3/4=?(2/3)
1/8=?(1/4)
3/8=?(2/5)
5/8=?(3/5)
7/8=?(3/4)
1/16=?(1/5)
3/16=?(2/7)
5/16=?(3/8)
7/16=?(3/7)
9/16=?(4/7)
11/16=?(5/8)
13/16=?(5/7)
15/16=?(4/5)
･･･････････
すると分母が２の冪ではない他の偶数、および奇数のものは2次無理数を使うことの結果として
発生する。
例えば
2/3=?((sqrt(5)-1)/2)
1/5=?((2-sqrt(2))/2)
1/6=?((5-sqrt(5))/10)
････････
そこで
a[i]/7=?(x[i])
ここにa[i]=i (i=1,2,3,･･･,6)
の結果を与える[0,1]区間にある2次無理数x[i] （i=1,2,3,･･･,6)
の具体的明示式を求めてほしい。
できれば
1/10,3/10,7/10,9/10を与えるやはり2次無理数y[j] (j=1,2,3,4)も
x[1]=2-√3
x[2]=(√3-1)/2
x[3]=(3-√3)/3
x[4]=√3/3
x[5]=(3-√3)/2
x[6]=√3-1
y[1]=(3-√2)/7
y[2]=(4-√2)/7
y[3]=(3+√2)/7
y[4]=(4+√2)/7
でしょうか。
またもや全問正解です。
２次無理数を有理数へ写像するアイデアをよく思いつくものですね。
というわけで
[0,1]区間で
?(x)=x
を満たすxは0,1/2,1以外にも存在していますが、その値は？
理屈的にはこの値は２次無理数のはずですよね。
0.42037233942322307564099300664622187394918986660061…
という値になりますが、これは2次無理数ではないですね。
（もしxが2次無理数なら?(x)は有理数なので?(x)=xにはなりません）
そうか！
例の不動点の小数第37位までを作る２次無理数で
gp > (sqrt(3219756132232550086641835218537)-1054710584836911)/(2*879764482467118)
%67 = 0.42037233942322307564099300664622187395
が作れたのでてっきり可能だろうと思ってしまった。
?(x)関数は連続ではないんですね。Pi/4や∛2などの点では繋がらない。
数ってどんだけあるんだってことですね。
ちなみに
1-0.42037233942322307564099300664622187394918986660061…
=0.57962766057677692435900699335377812605･･･
も不動点となりますね。
> ?(x)関数は連続ではないんですね。
連続関数と書かれています。
Pi/4などの数でも、上と下から有理数で押さえれば?(x)もいくらでも近い値になりますので、
その有理数の極限として表されるPi/4もその間の値として定義され、連続になりますね。
