😊出会いの泉😊

折り紙を使うと角の３等分はおろか５等分もできるらしいですね。

定木とコンパスとでは出来ない正１１角形の作図もできるとか。
↓
https://core.ac.uk/download/pdf/59041733.pdf

平面に３点A,B,Cをとり、今角∠ABCを３等分することを試みる。
但し定規に２つの傷、もしくは目印としてP,Qの２点をマジックで印を付けておく。
①；直線AB上に点BからPQの距離と同じ長さとなるように、そこに点Oをとる。
② ; 点Oを通り直線BCに平行な線ODを引く。
③ ; 点Oを中心として半径OB(=PQ)である円を描く。
④ ; 定規を点Bを通る様にして、点Pが円と点Qが直線ODと重なる様に調整したら定規に線BEを引く。
　　(説明のために円と直線(=OD)との交点をそれぞれP,Qと名付ける。)

以上の作業から
△OPQ,△OBPは二等辺三角形より
∠POQ=∠PQO=θ　なら
∠OPB=∠OBQ=2θ　で
また平行から
∠OQB=∠CBQ=θ
これから
∠ABC=3θ

したがって角∠ABCの３等分線の一つは直線BEであり
後は角∠ABE=2θを従来のやり方でこれを２等分すればよい。

＊定規の目的を直線をただ引くという役目に、ちょっと手を加えるだけで全てが変化する
　ことが面白いです。

> 後は角∠ABE=2θを従来のやり方でこれを２等分すればよい。

せっかくいろいろ補助線がありますので、これを利用して
Qを中心としてPを通る円を描いて、円OとのPでない交点をFとすれば
BFがもう一つの三等分線になりますね。

> ④ ; 定規を点Bを通る様にして、点Pが円と点Qが直線ODと重なる様に調整したら定規に線BEを引く。

この条件を満たす定規の角度は全部で 6 つあります。
2 つは点 Q を点 O におき、定規を直線 AB に重ねて置く方法、
1 つは点 P を点 B に重ね、点 Q は点 O と異なるところに置く方法。
この 3 つは明らかに目的の線ではないので除外するとして、
残り 3 つのうちどの線を使って作図すればよいのでしょうか？

鋭角の場合は内角に 1 つと外角に 2 つなので内角にあるやつを選択すればいいとしても、鈍角の場合は内角に 2 つあります。

鈍角の場合は鋭角である外角を三等分したのちに三等分線から外側に60°の角度をとれば
鈍角の三等分線ができますので、鋭角だけ三等分できれば十分とも言えますね。