さてその先は？
正の整数で
a^2+b^2=c^2
を満たす(a,b,c)は多数の組が存在し
一方
a^3+b^3=c^3
では全く存在しない。
そこで
a^3+b^3=c^2･････（＊）
ではどの様な組が可能かを考えてみる。
但し1≦a≦b≦cであるとする。
簡単な調査で
(a,b,c)=(1,2,3)
(2,2,4)
(4,8,24)
(8,8,32)
(9,18,81)
(7,21,98)
(18,18,108)
･･････
などが見つかるが一般に（＊）を満たす一組を
(a.,b,c)=(A,B,C)とすればnを自然数として(A*n^2,B*n^2,C*n^3)
の組も自動的に（＊）が満たされてくる。
何故なら
(A*n^2)^3+(B*n^2)^3=(A^3+B^3)*n^6=C^2*n^6=(C*n^3)^2
なので、例えば上記の
(1,2,3),(4,8,24),(9,18,81)は同じ系列として
(1,2,3)=(1*1^2,2*1^2,3*1^3)
(4,8,24)=(1*2^2,2*2^2,3*2^3)
(9,18,81)=(1*3^2,2*3^2,3*3^3)
････････････
で記述される。
同じく
(2,2,4),(8,8,32),(18,18,108)も
(2,2,4)=(2*1^2,2*1^2,4*1^3)
(8,8,32)=(2*2^2,2*2^2,4*2^3)
(18,18,108)=(2*3^2,2*3^2,4*3^3)
･･･････････
と同じ系列をなす。
そこで(1,2,3)や(2,2,4)を規約な組と呼ぶことにする。
さて以上を踏まえてaが10000を越えるもので、最小な規約の組
(a,b,c)は何になるかを考えて下さい。
とりあえずパッと思いつくのは
a=10010, b=1001, c=1002001
ですが、もっと小さいのがありますかね？
但し1≦a≦b≦cであるとする。
の条件に合わないので、これも含んでお願いします。
最小とコメントしていたんですが、最小に少し自信が無くなったのでa>10000
であるものを探して下さい。できれば3組ほど。
「最小」というのは、「aが最小」ですか？それとも「cが最小」ですか？
aがでおねがいします。
あ、問題を読み飛ばしちゃってました。
失礼しました。
aの小さい順だと
10010^3+17290^3=2484300^2
10054^3+13178^3=1817904^2
10065^3+23010^3=3633525^2
ですかね。
最小に自信がなくなったとコメントしたのは、bの探索範囲を広げてみたら
10016^3+2153440^3=3160088064^2
なるものが出現したので、もっと広げてやれば10010が最小とは限らないんじゃないのかな？
と疑問をもったためでした。
bの探索範囲を広げて行けば時間が掛かってしまうし･････
で３個と問い直しました。
と思っていたら
(10016,2153440,3160088064)=(626*4^2,134590*4^2,49376376*4^3)
なので既約ではありませんでした。
他のaでは
10080^3+15120^3=2116800^2( しかしこれは既約にならない。)
(10080,15120,2116800)=(70*12^2,105*12^2,1225*12^3)
10082^3+231886^3=111668232^2 (これも既約でない。）
(10082,231886,111668232)=(2*71^2,46*71^2,312*71^3)
10089^3+1169298^3=1264410081^2 (これも既約でない。）
(10089,1169298,1264410081)=(1121*3^2,129922*3^2,46830003*3^3)
ですのでaが10000を超えて既約候補の3個は上のものですね。
続きは
10122^3+149961^3=58081023^2
10129^3+1244420^3=1388195367^2
10147^3+115997^3=39519864^2
10166^3+17342^3=2503228^2
10185^3+234934^3=113877127^2
10199^3+182693^3=78094534^2
10270^3+13430^3=1872300^2
となるようですね。
ちなみに一部の解は手計算でも出せます。
例えば2つの素数11と19を使って
11^3+19^3=8190=2×3^2×5×7×13
平方要素を除くと 2×5×7×13=910
11×910=10010, 19×910=17290なので
10010^3+17290^3=(11^3+19^3)×910^3
=(2×3^2×5×7×13)×(2×5×7×13)^3
=(2^2×3×5^2×7^2×13^2)^2=2484300^2
17と29を使うと
17^3+29^3=29302=2×7^2×13×23
平方要素を除くと 2×13×23=598
17×598=10166, 29×598=17342なので
10166^3+17342^3=(17^3+29^3)×598^3
=(2×7^2×13×23)×(2×13×23)^3
=(2^2×7×13^2×23^2)^2
=2503228^2
# 最初の2数は素数である必要はありません。
# 例えば15と346から
# 10185^3+234934^3=113877127^2
# が得られます。
また、この方法を使えば単純探索では厳しいようなかなり大きい値の解の例も算出できます。
例えば271と314を使うと
271^3+314^3=50861655=3^3×5×13×73×397
平方要素を除くと 3×5×13×73×397=5651295
271×5651295=1531500945, 314×5651295=1774506630なので
1531500945^3+1774506630^3=(271^3+314^3)×5651295^3
=(3^3×5×13×73×397)×(3×5×13×73×397)^3
=(3^3×5^2×13^2×73^2×397^2)^2
=95811405531075^2
面白い構成方法ですね。（よくこんな方法を思いつけますね。）
10129^3+1244420^3=1388195367^2
は7 と860
10166^3+17342^3=2503228^2
は17と29
10270^3+13430^3=1872300^2
は13と17
から構成できますね。
でもこれで出来たり、出来なかったりすることもまた面白いです。
＜追伸＞
探索範囲を広げれば
いやいや、これで全部作れてしまいますね。
10054^3+13178^3=1817904^2は
457 と599
10065^3+23010^3=3633525^2は
671 と1534
10122^3+149961^3=58081023^2は
482 と 7141
10147^3+115997^3=39519864^2は
139 と1589
10199^3+182693^3=78094534^2は
1457 と26099
この構成方法に気づきましたので、10100より大きい解はこの方法のプログラムを作って調べました。
2数をs,t（s≦t）としたとき、tは+1ずつですが、sは例えばaの範囲が10000～10300とするならば
s=4000やs=6000などを調べる必要がない（整数倍して10000～10300の範囲にならない）ので
結構高速化できました。
（具体的には、sを+1ずつして[10000/s]=[10299/s]になったらs/[10000/s]まで飛ばしてよい）
s;tを変化させて一気に構成してみました。
1;2=>1^3 + 2^3 = 3^2
1;3=>7^3 + 21^3 = 98^2
1;4=>65^3 + 260^3 = 4225^2
1;5=>14^3 + 70^3 = 588^2
1;6=>217^3 + 1302^3 = 47089^2
1;7=>86^3 + 602^3 = 14792^2
1;8=>57^3 + 456^3 = 9747^2
1;9=>730^3 + 6570^3 = 532900^2
1;10=>1001^3 + 10010^3 = 1002001^2
1;11=>37^3 + 407^3 = 8214^2
1;12=>1729^3 + 20748^3 = 2989441^2
1;13=>2198^3 + 28574^3 = 4831204^2
1;14=>305^3 + 4270^3 = 279075^2
1;15=>211^3 + 3165^3 = 178084^2
1;16=>4097^3 + 65552^3 = 16785409^2
1;17=>546^3 + 9282^3 = 894348^2
1;18=>5833^3 + 104994^3 = 34023889^2
1;19=>35^3 + 665^3 = 17150^2
1;20=>889^3 + 17780^3 = 2370963^2
1;21=>9262^3 + 194502^3 = 85784644^2
1;22=>10649^3 + 234278^3 = 113401201^2
1;23=>2^3 + 46^3 = 312^2
1;24=>553^3 + 13272^3 = 1529045^2
1;25=>15626^3 + 390650^3 = 244171876^2
1;26=>217^3 + 5642^3 = 423801^2
1;27=>4921^3 + 132867^3 = 48432482^2
1;28=>21953^3 + 614684^3 = 481934209^2
1;29=>2710^3 + 78590^3 = 22032300^2
1;30=>27001^3 + 810030^3 = 729054001^2
2;3=>70^3 + 105^3 = 1225^2
2;4=>4^3 + 8^3 = 24^2
2;5=>266^3 + 665^3 = 17689^2
2;6=>28^3 + 84^3 = 784^2
2;7=>78^3 + 273^3 = 4563^2
2;8=>260^3 + 1040^3 = 33800^2
2;9=>1474^3 + 6633^3 = 543169^2
2;10=>14^3 + 70^3 = 588^2
2;11=>2678^3 + 14729^3 = 1792921^2
2;12=>868^3 + 5208^3 = 376712^2
2;13=>10^3 + 65^3 = 525^2
2;14=>86^3 + 602^3 = 14792^2
2;15=>6766^3 + 50745^3 = 11444689^2
2;16=>228^3 + 1824^3 = 77976^2
2;17=>9842^3 + 83657^3 = 24216241^2
2;18=>730^3 + 6570^3 = 532900^2
2;19=>1526^3 + 14497^3 = 1746507^2
2;20=>4004^3 + 40040^3 = 8016008^2
2;21=>18538^3 + 194649^3 = 85914361^2
2;22=>148^3 + 1628^3 = 65712^2
2;23=>974^3 + 11201^3 = 1185845^2
2;24=>6916^3 + 82992^3 = 23915528^2
2;25=>386^3 + 4825^3 = 335241^2
2;26=>2198^3 + 28574^3 = 4831204^2
2;27=>39382^3 + 531657^3 = 387735481^2
2;28=>1220^3 + 17080^3 = 2232600^2
2;29=>48794^3 + 707513^3 = 595213609^2
2;30=>844^3 + 12660^3 = 1424672^2
3;4=>273^3 + 364^3 = 8281^2
3;5=>114^3 + 190^3 = 2888^2
3;6=>9^3 + 18^3 = 81^2
3;7=>1110^3 + 2590^3 = 136900^2
3;8=>33^3 + 88^3 = 847^2
3;9=>63^3 + 189^3 = 2646^2
3;10=>3081^3 + 10270^3 = 1054729^2
3;11=>4074^3 + 14938^3 = 1844164^2
3;12=>585^3 + 2340^3 = 114075^2
3;13=>417^3 + 1807^3 = 77284^2
3;14=>8313^3 + 38794^3 = 7678441^2
3;15=>126^3 + 630^3 = 15876^2
3;16=>12369^3 + 65968^3 = 16999129^2
3;17=>3705^3 + 20995^3 = 3050450^2
3;18=>1953^3 + 11718^3 = 1271403^2
3;19=>20658^3 + 130834^3 = 47416996^2
3;20=>24081^3 + 160540^3 = 64432729^2
3;21=>774^3 + 5418^3 = 399384^2
3;22=>1281^3 + 9394^3 = 911645^2
3;23=>36582^3 + 280462^3 = 148693636^2
3;24=>57^3 + 456^3 = 9747^2
3;25=>11739^3 + 97825^3 = 30623138^2
3;26=>52809^3 + 457678^3 = 309865609^2
3;27=>6570^3 + 59130^3 = 14388300^2
3;28=>65937^3 + 615412^3 = 483076441^2
3;29=>4578^3 + 44254^3 = 9314704^2
3;30=>9009^3 + 90090^3 = 27054027^2
･･･････････････
sとtが互いに素でない場合は「既約な組」になりませんので、互いに素でないものは除いた方が良いかも知れません。
