😊出会いの泉😊

りらひいさん、ご投稿ありがとうございます。
この新掲示板は画像も投稿できるみたいです。ただし、１枚だけ！

管理人さん

解いてくださりありがとうございます。
私が用意していた解答よりシンプル明快でとても参考になりました。（特に[2]のほう）

私の解答例はこちら

[1]

例①
点Oから三角形ABCの頂点A,B,Cへおろした垂線の足をそれぞれD,E,Fとする。
(sin∠ABO / sin∠OBC) * (sin∠BCO / sin∠OCA) * (sin∠CAO / sin∠OAB)
= ((OF/OB) / (OD/OB)) * ((OD/OC) / (OE/OC)) * ((OE/OA) / (OF/OA))
= 1

例②
正弦定理を使うと、
(sin∠ABO / sin∠OBC) * (sin∠BCO / sin∠OCA) * (sin∠CAO / sin∠OAB)
= ((AO/AB*sin∠AOB) / (OC/BC*sin∠BOC)) * ((BO/BC*sin∠BOC) / (OA/CA*sin∠COA)) * ((CO/CA*sin∠COA) / (OB/AB*sin∠AOB))
= 1

例③
(sin∠ABO / sin∠OBC) * (sin∠BCO / sin∠OCA) * (sin∠CAO / sin∠OAB)
= ((1/2*AB*BO*sin∠ABO) / (1/2*OB*BC*sin∠OBC)) * ((1/2*BC*CO*sin∠BCO) / (1/2*OC*CA*sin∠OCA)) * ((1/2*CA*AO*sin∠CAO) / (1/2*OA*AB*sin∠OAB))
= (△ABO / △OBC) * (△BCO / △OCA) * (△CAO / △OAB)
= 1


[2]

例①
∠ABQ=∠RBQ または ∠ABQ+∠RBQ=π のいずれかが成り立つことと正弦定理より
sin∠ABQ = sin∠RBQ = QR/BQ*sin∠BRQ
が成り立つ。同様にして、
sin∠QBC = sin∠QBP = PQ/BQ*sin∠BPQ
sin∠BCR = sin∠PCR = RP/CR*sin∠CPR
sin∠RCA = sin∠RCQ = QR/CR*sin∠CQR
sin∠CAP = sin∠QAP = PQ/AP*sin∠AQP
sin∠PAB = sin∠PAR = RP/AP*sin∠ARP
が成り立つ。
また、∠BPQ=∠CPR または ∠BPQ+∠CPR=π のいずれかが成り立つことなどから、
sin∠BPQ = sin∠CPR
sin∠CQR = sin∠AQP
sin∠ARP = sin∠BRQ
もわかる。よって、
(sin∠ABQ / sin∠QBC) * (sin∠BCR / sin∠RCA) * (sin∠CAP / sin∠PAB)
= (sin∠RBQ / sin∠QBP) * (sin∠PCR / sin∠RCQ) * (sin∠QAP / sin∠PAR)
= ((QR/BQ*sin∠BRQ) / (PQ/BQ*sin∠BPQ)) * ((RP/CR*sin∠CPR) / (QR/CR*sin∠CQR)) * ((PQ/AP*sin∠AQP) / (RP/AP*sin∠ARP))
= (sin∠BRQ * sin∠CPR * sin∠AQP) / (sin∠BPQ * sin∠CQR * sin∠ARP)
= 1

例②
[1]より、
(sin∠ABQ / sin∠QBP) * (sin∠BPQ / sin∠QPA) * (sin∠PAQ / sin∠QAB) = 1 …[あ]
(sin∠ACR / sin∠RCP) * (sin∠CPR / sin∠RPA) * (sin∠PAR / sin∠RAC) = 1 …[い]
が成り立つ。
また、∠QBC=∠QBP または ∠QBC+∠QBP=π のいずれかが成り立つことなどから、
sin∠QBC = sin∠QBP
sin∠BCR = sin∠RCP
sin∠BPQ = sin∠CPR
sin∠QPA = sin∠RPA
sin∠CAP = sin∠PAQ
sin∠PAB = sin∠PAR
sin∠QAB = sin∠RAC
が成り立ち、これらを[あ],[い]に代入して[あ]÷[い]を計算すると、
(sin∠ABQ / sin∠QBC) * (sin∠BCR / sin∠RCA) * (sin∠CAP / sin∠PAB) = 1
を得る。