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スレッドNo.388

一次不定方程式

整数解を求める一次不定方程式
「ax+by=c が解を持つ⇔cが、a,bの公約数で割れる」
未知数が、三つ以上でも、言えますか?
必要性は、分かりますが。
ご教授ください。

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高木貞治 著「初等整数論講義」によれば、
「ax+by+cz=k が解を持つ ⇔ kが、d=(a,b, c)で割り切れる」
が成り立ち、変数の数は任意とのことです。

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ax+by+cz=dにおいて
dがa,b,cの最大公約数で割り切れないときは明らかに解を持ちません。
(左辺はa,b,cの最大公約数の倍数にしかならないため)
dがa,b,cの最大公約数で割り切れる場合は、最大公約数で割ったものを
あらためてa,b,c,dとすればax+by+cz=d, (a,b,c)=1です。
このとき
b=Bg,c=Cg,(B,C)=1とすれば(a,b,c)=1から(a,g)=1であり
ax+Bgy+Cgz=d
ax+g(By+Cz)=d
これはBy+Cz=wとおけばax+gw=d,(a,g)=1なので解を持ちます。
この解のwに対してBy+Cz=wは(B,C)=1から解を持ちますので、
元の式も解を持つことになります。

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