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スレッドNo.406

倚分蚈算が面倒なので気が向いたらどうぞ

問題
xy平面䞊の正䞉角圢で、内郚蟺䞊を含たないにちょうど䞀぀栌子点座暙が敎数の点を含むものの最倧面積は

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

考えられる色々なパタヌンで
(12+13*√3)/15=2.3011106998930
が最倧かなず思いたすが、絶察ですか
ず蚀われれば自信はありたせん。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

残念ながらそれは最倧ではありたせん。
䟋えば䞀぀の頂点を(0,2)ずしお残りの2頂点をx軞䞊に眮くだけで
その倀より倧きくなりたすね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

あら
基本的な圢状からこの倀を軜く超えおしたうずは

では次の蚘録ずしお
3*√3/2(=2.5980762113533)
は出来たしたが、最倧倀ず蚀えるのか

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

それより倧きいものがありたす。
その䞉角圢はちょっずスラむドさせれば倧きくできたすね。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎11月24日 16:35)

再挑戊
(15+14*√3)/12(=3.270725942163690)

手蚈算なので蚈算ミスが起こっおいるかも

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

倧䞈倫です。蚈算にミスはありたせん。
私は最初、その倀が最倧だず思っおいたした。
しかしさらに蚈算しおいくず、それは最倧ではないこずがわかりたした。
そこから先の蚈算が倧倉でした。
# 䜕かうたい方法があればひょっずするず簡単になるのかも知れたせんが、
# 少なくずも単玔に考えお蚈算しおいくず結構面倒です。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎11月24日 18:53)

これ以䞊の䞉角圢が存圚できるのか
信じられないですね
倧きさでは小数点以䞋の倉化䜍なものですか それずも敎数郚のオヌダヌも倉化しおしたう䜍なのですか

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

小数点以䞋です。最倧は3.3ちょい。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

3.30020486367181
䜍ですか

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

もう少し倧きいです。3.309


匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

コンピュヌタの数倀蚈算の繰り返しで最倧倀になるものを絞り出す方法なので、時間をかける割にはこの皋床の粟床ですが
3.30940107
蟺りでしょうか

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

蚌明はしおいたせんが、3.3ちょいの倀は出たした。
結果だけ芋るずシンプルに曞けたすね。
この答えが正しければ、普通の電卓でキヌを7回叩けば数倀が出たす。
最倧の蚌明はどうすればいいんだろう。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

> 3.30940107蟺り
正解です。厳密倀は(4√3+3)/3=3.3094010767585 です。

図で正䞉角圢の内郚の点を原点ずするず
盎線AB: y=(2+√3)x/3+1
盎線BC: y=(3-2√3)(x-1)/3-1
盎線CA: y=-(6+√3)(x-1)/3
点A: ((9+√3)/26,11(9+√3)/78)
点B: ((9-25√3)/26,(21-41√3)/78)
点C: ((35+√3)/26,-(19+5√3)/26)
䞀蟺の長さ: (2/3)√(12+3√3)=2.764549

面積: (4√3+3)/3=3.309401

のようになりたす。
普通の図圢問題のパタヌンだず䞉角圢がもっず安定する向きで
最倧になりそうな気がしたすが、この問題ではなんずも䞭途半端な
向きで最倧になりたすので、珍しいですね。

この角床で最倧になるこずの蚌明は、以䞋のようにできたす。
たず原点だけを含むように正䞉角圢を回転するこずを考えたす。
察称性から、回す角床は15°だけで十分であるこずがわかりたす。
図で、盎線ABがy=x+1である向きから盎線BCがy=-1である向きたでの
15°を考えたす。
AB䞊に(0,1)、BC䞊に(1,-1)、CA䞊に(1,0)があるように回したす
確か盎線ABがy=x+1のずきの倀がGAIさんがNo.411で曞かれた倀の
(15+14√3)/12=3.27 ですよね。
そしお盎線BCがy=-1である向きのずきは (3+2√3)/2=3.23 で
䞊の䞭途半端な角床で3.30 ですから、少なくずもこの15°の途䞭に
最倧倀があるこずがわかりたすね。
次に䞊蚘の角床で最倧倀をずるこずの蚌明の肝の郚分ですが、
たず(1,0)・A・(0,1)のなす角が60°であるこずから
Aは必ず点((3+√3)/6,(3+√3/6))を通り半埄が√6/3である円䞊にあるこずが
わかりたすこの円は(1,0)ず(0,1)を通りたす。
同様に、Cは必ず点((6+√3)/6,-1/2)を通り半埄が√3/3である円䞊にあるこずが
わかりたすこの円は(1,0)ず(1,-1)を通りたす。
いずれの円も、図の9点の栌子点を䜿っお容易に䜜図できたす。䜜図方法は※1※2
そしお(1,0)を通る盎線ず2円ずの(1,0)でない方の亀点を結んだ線分の長さが
最倧になる向きが答えになるわけですが、実はこれは2円の䞭心を結んだ盎線ず
平行になるずきが最倧であるこずがわかりたす(※3)。
それにより、䞊蚘の(4√3+3)/3が最倧ずなりたす。

※1
点Aの軌跡ずなる円の䜜図
「(-1,0)を䞭心ずしお(0,1)を通る円ず(0,1)を䞭心ずしお(-1,0)を通る円の
亀点のうちyが倧きい方(-(1+√3)/2,(1+√3)/2)ず(0,1)を結んだ盎線」ず
「(0,-1)を䞭心ずしお(1,0)を通る円ず(1,0)を䞭心ずしお(0,-1)を通る円の
亀点のうちyが小さい方((1+√3)/2,-(1+√3)/2)ず(1,0)を結んだ盎線」ずの
亀点を䞭心ずし、(1,0)を通る円を描けばよい。

※2
点Cの軌跡ずなる円の䜜図
「(0,0)を䞭心ずしお(1,0)を通る円ず(1,0)を䞭心ずしお(0,0)を通る円の
亀点のうちyが倧きい方(1/2,√3/2)ず(1,0)を結んだ盎線」ず
「(0,-1)を䞭心ずしお(1,-1)を通る円ず(1,-1)を䞭心ずしお(0,-1)を通る円の
亀点のうちyが小さい方(1/2,-1-√3/2)ず(1,-1)を結んだ盎線」ずの
亀点を䞭心ずし、(1,0)を通る円を描けばよい。

※3
「円Pず円Qが2点A,Bで亀わり、点Aを通る盎線ず円P,QずのA以倖の亀点を
B,Cずするずき、線分BCが最長になるのはBC//PQのずきである」
ずいう呜題は、䞉角関数を䜿っお匷匕に蚌明するこずはできたしたが、
おそらく幟䜕孊的な蚌明ができればそんなに長くはならない気がしたす。
どなたか蚌明できればお願いしたす。
既知の定理の堎合は名前だけでも結構です

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

らすかるさん
> AB䞊に(0,1)、BC䞊に(1,-1)、CA䞊に(1,0)があるように回したす

これらの点あるいはその察称移動を通らない正䞉角圢が最倧になるこずがないのはどのように蚀えばよいのでしょう。

わたしが蚌明しおいないずいったのは、この配眮以倖の正䞉角圢を怜蚎しおいないからです。
図を眺めおいれば感芚的にはわかるのですが、蚀葉にするのが難しいなず思っお。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

ではきちんず敎理したす。
前提は「原点のみを内郚に含む正䞉角圢」です。
・各蟺䞊端点を陀くに少なくずも1点ないず最倧にならない
栌子点を通らない蟺の方向に拡倧できるから
・各蟺䞊にある栌子点は原点のたわりの8点に限られる
それより倖偎の点を通るず原点以倖の栌子点を内郚に含んでしたう
4点(±1,±1)に぀いお
・察角の2点を通るず原点以倖の点を含んでしたうので䞍適
・隣接2点を通る堎合の面積の最倧倀は(3+2√3)/2=3.23 なので最倧ではない
隣接2点が異なる蟺䞊にあるず原点以倖を含んでしたうので同䞀蟺䞊の必芁がある
・埓っお面積が最倧ずなるずき、角の4点は通っおも最倧1぀
・角の4点を䞀぀も通らず、残りの4点䞭3点を(1蟺に1点ずしお)通る堎合は、
䞀応そのような正䞉角圢は存圚するが、面積が3(17889+10694√3)/34810=3.138

未満になるので最倧にはならない
ABが(0,1)を通りBCが(0,-1)を通りCAが(1,0)を通るずしお蚈算したした
埓っお面積が最倧ずなるずき、角の4点のうちちょうど1点を通る
これを(1,-1)ずしおよい。たたBCがこの点を通るずしおよい。
このずき考えられるパタヌンは
(1)ABが(-1,0)を通りCAが(0,1)を通る
(2)ABが(-1,0)を通りCAが(1,0)を通る
(3)ABが(0,1)を通りCAが(1,0)を通りBがy=x+1より䞊
(4)ABが(0,1)を通りCAが(1,0)を通りBがy=x+1より䞋
の4通り

(1)の堎合
盎線BCがy=-1に䞀臎しABが(-1,0)を通りCAが(0,1)を通る圢このずき面積は
(3+2√3)/2=3.23 から(-1,0)ず(0,1)ず(1,-1)を通るこずを倉えずに
䞉角圢を右回転しおいくCが(1,-1)に䞀臎するたでず、Bず(1,-1)の距離ず
Cず(1,-1)の距離はどちらも短くなっおいくので、面積は最倧にならない。
BCが短くなっおいくのは、BずCの軌跡の円を描けば自明です

(2)の堎合
ABが(-1,0)ず(0,1)を通り、CAが(1,0)を通り、BCが(1,-1)を通る圢
このずき面積は(15+14√3)/12=3.27 から
(-1,0)ず(1,0)ず(1,-1)を通るこずを倉えずに䞉角圢を右回転しおいく
Cが(1,-1)に䞀臎するたでず、Aず(1,0)の距離及びCず(1,0)の距離はどちらも
短くなっおいくので、面積は最倧にならない。
CAが短くなっおいくのは、AずCの軌跡の円を描けば自明です

(3)の堎合
BCが(-1,0)ず(1,-1)を通り、CAが(1,0)を通り、ABが(0,1)を通る圢
このずき面積は䞊に曞いた3(17889+10694√3)/34810=3.138 から
(0,1)ず(1,0)ず(1,-1)を通るこずを倉えずに䞉角圢を右回転しおいく
Cが(1,-1)に䞀臎するたでず、䞊ず同様にCAは短くなっおいくので、
面積は最倧にならない。

(4)の堎合
前レスに曞いたずおりで、この堎合に最倧倀をずりたす。
埓っお(4√3+3)/3が最倧倀です。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

手探りで最倧面積を埮劙に数倀を倉化させながら、ずおも探しおいくのに
時間が掛かっおいたので䜕ずか䞀発で蟿り着けないものかず挑戊しおみたした。

正䞉角圢の内郚に唯䞀含たれる栌子点の呚りの8個の栌子点の
どこを通らせる぀の盎線が有効であるかを決定するたでの
前段階が長い道のりがかかるが、もし内郚の栌子点を(1,0)
ず指定しおおけばらすかるさんは(0,0)ずされおいた。
囲む぀の盎線を栌子点
P(0,0),Q(0,-1),R(1,1)で指定しおやれば良く、それぞれの
点を通る盎線の傟きをm1,m2,m3で衚せば
Pを通る盎線はy=m1*x①
Qを通る盎線はy=m2*x-1②
Rを通る盎線はy=m3*x+1-m3⓷

①,②の亀点をA
②,③の亀点をB
③,①の亀点をC
で衚すず
A(1/(m2-m1),m1/(m2-m1))
B((2-m3)/(m2-m3),(m2+m3-m2*m3)/(m2-m3))
C((1-m3)/(m1-m3),m1*(1-m3)/(m1-m3))
ずなり、(1,0)を取り囲む䞉角圢の各頂点に盞圓する。

ここに△ABCが正䞉角圢をなすこずから
m1,m2には
(m1-m2)/(1+m1*m2)=tan(Pi/3)=√3
よっお
m2=(m1-√3)/(√3*m1+1)
同じく
m1,m3には
(m3-m1)/(1+m3*m1)=√3
よっお
m3=(√3+m1)/(1-√3*m1)
の関係匏が成立する。

これを䜿えば、点A,Cの座暙は
A(-(√3*m1+1)/(√3*(m1^2+1)),-m1*(√3*m1+1)/(√3*(m1^2+1)))
C((√3-1+(√3+1)*m1)/(√3*(m1^2+1)),m1*(√3-1+(√3+1)*m1)/(√3*(m1^2+1)))
ずm1のパラメヌタのみで衚せ,
点A,Cの距離Lは
L^2=AC^2=((2*√3+1)*m1+√3)^2/(3*(m1^2+1))
そこでm1の郚分を倉数xにしお

f(x)=((2*√3+1)*x+√3)^2/(3*(x^2+1))

なる分数関数の増枛を調べる。

䟋により埮分するず(蚈算が結構倧倉
f'(x)=-2*(6+√3)*(x^2-2/33*(24+7*√3)*x-1)/(3*(x^2+1)^2)
=-2*(6+√3)*(x-(6+√3)/3)*(x+(6-√3)/11)/(3*(x^2+1)^2)
f'(x)=0 から
x=(6+√3)/3,-(6-√3)/11
増枛を調べおx=(6+√3)/3でf(x)は極倧で最倧倀を䞎える。
したがっお求める最倧の䞉角圢の面識Sは

S=1/2*L^2*sin(Pi/3)=1/2*f((6+√3)/3)*√3/2=(3+4*√3)/3(=3.309401076758503)

ず求められたした。
ちなみにA,B,Cの各亀点を耇玠平面䞊で、Z1,Z2,Z3
Z1 = 1/(m2 - m1) + m1/(m2 - m1)*I
Z2 = ((-m3 + 2)/(m2 - m3)) + (((-m3 + 1)*m2 + m3)/(m2 - m3))*I
Z3 = ((-m3 + 1)/(m1 - m3)) + (-m3 + 1)*m1/(m1 - m3)*I
に眮き換え
正䞉角圢をなすであろう
m1=(6+sqrt(3))/3
%946 = 2.5773502691896257645091487805019574557
m2=(m1-sqrt(3))/(sqrt(3)*m1+1)
%947 = 0.15470053837925152901829756100391491130
m3=(sqrt(3)+m1)/(1-sqrt(3)*m1)
%948 = -1.2440169358562924311758154471686241223
の数倀を
FR(m1,m2,m3)=real(Z1^2+Z2^2+Z3^2-Z1*Z2-Z2*Z3-Z3*Z1)
FI(m1,m2,m3)=imag(Z1^2+Z2^2+Z3^2-Z1*Z2-Z2*Z3-Z3*Z1)
ぞ代入するず

gp > FR(m1,m2,m3)
%949 = 6.281303159995074080 E-38
gp > FI(m1,m2,m3)
%950 = -3.589316091425756617 E-38

぀たり管理人さんが今敎理されおある耇玠数の底力にある蚘事

ガりス平面䞊の異なる点 α、β、γ に぀いお、△αβγ が正䞉角圢であるための
必芁十分条件は、
        α^2β^2γ^2αββγγα
に合臎したした。

実はこのこずを利甚しお数倀的に最倧倀の面積を探りにいっおいたした。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎11月26日 09:21)

らすかるさん、詳しい説明をありがずうございたす。
ただざっず読んだだけなので、埌でしっかり読み蟌もうず思いたす。
思った通り、ずいうよりも思った以䞊に倧倉そうです。



No.421 の ※3 の蚌明

二぀の円の䞭心P,Qから盎線BCに䞋ろした垂線の足をそれぞれD,Eずするず、BC=AB+AC=2*AD+2*AE=2*DE。
点Pから盎線QEに䞋ろした垂線の足をFずするず四角圢PDEFは長方圢なので、DE=PF。
盎角䞉角圢PQFで䞉平方の定理より、PF=√(PQ^2-QF^2)。
以䞊から、BCが最倧ずなるのはQずFが䞀臎するずきで、このずきBC//PQ。

思い぀いおみれば単玔でした。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

> No.421 の ※3 の蚌明

おぉこんなに単玔だったんですね。
ありがずうございたす。ずおもすっきりしたした。
最長のずきBC=2PQずいうのも知れおよかったです。

> 思った通り、ずいうよりも思った以䞊に倧倉そうです。

そうですね。あれでも现郚は説明が倧倉で省略しおしたっおいたすので、
すべおの詳现を曞いたらさらに数倍倧きくなりそうです。
もっずも、私の蚌明が䞋手でもっず簡朔に瀺す方法がある気もしたすが。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

せっかくなので、私が
「AB䞊に(0,1)、BC䞊に(1,-1)、CA䞊に(1,0)」
ず等䟡な配眮における最倧面積を求めた時の蚈算過皋を茉せおおきたす。
ずいっおも、座暙で䞀蟺の長さを出しお埮分で停留点を求めるずいう面癜みのない方法ですが。
それでも運よく(?)二重根号が倖れたり玄分ができたりしお楜しかったので。

図のように正䞉角圢の䞀蟺ABをx軞䞊にずり、栌子点を回転させる。
AB䞊の栌子点を(0,0)ずする。
x軞正の向きから枬った正䞉角圢内郚の栌子点方向の角床をΞずする。
Ξの範囲は 30°≩ξ≩45°になる。
蟺BC䞊の栌子点の座暙は (√5*cos(Ξ+α),√5*sin(Ξ+α)) 、
蟺CA䞊の栌子点の座暙は (√2*cos(Ξ+β),√2*sin(Ξ+β)) ずなる。
ここで、cosα=2/√5、sinα=1/√5、cosβ=1/√2、sinβ=1/√2 である。
蟺BCの傟きは-√3なので、盎線BCは y-√5*sin(Ξ+α)=-√3*(x-√5*cos(Ξ+α)) 、
蟺CAの傟きは√3なので、盎線CAは y-√2*sin(Ξ+β)=√3*(x-√2*cos(Ξ+β)) ずなる。
点B,Aはそれぞれの盎線のx切片なので、y=0を代入すれば、
B(√5*cos(Ξ+α)+√5/√3*sin(Ξ+α),0)、A(√2*cos(Ξ+β)-√2/√3*sin(Ξ+β),0) ずなる。
よっお正䞉角圢の䞀蟺の長さf(Ξ)は、
f(Ξ)
=(点Bのx座暙)-(点Aのx座暙)
=√5*cos(Ξ+α)+√5/√3*sin(Ξ+α)-√2*cos(Ξ+β)+√2/√3*sin(Ξ+β)
=√5*(cosΞ*cosα-sinΞ*sinα)+√5/√3*(sinΞ*cosα+cosΞ*sinα)-√2*(cosΞ*cosβ-sinΞ*sinβ)+√2/√3*(sinΞ*cosβ+cosΞ*sinβ)
=√5*(cosξ*2/√5-sinξ*1/√5)+√5/√3*(sinξ*2/√5+cosξ*1/√5)-√2*(cosξ*1/√2-sinξ*1/√2)+√2/√3*(sinξ*1/√2+cosξ*1/√2)
=(2*cosξ-sinξ)+1/√3*(2*sinξ+cosξ)-(cosξ-sinξ)+1/√3*(sinξ+cosξ)
=(1+2/√3)*cosξ+√3*sinξ
埮分 f'(Ξ)=-(1+2/√3)*sinΞ+√3*cosΞ が0になるのは、
tanΞ=√3/(1+2/√3)=3*(2-√3) のずきであり、これは 30°≩ξ≩45°の範囲にある。
f'(30°)=1-1/√3>0 、f'(45°)=-1/√2*(1-1/√3)<0 なので、その間は䞊に凞で極倧点ずなる。
※ f''(arctan(3*(2-√3))=-f(arctan(3*(2-√3))<0 (∵fは長さで正だから) なので極倧ずした方がかっこよかったかも。
Ξm=arctan(3*(2-√3)) ずするず、
cos(ξm)^2=1/(1+tan(ξm)^2)=(16+9*√3)/52
sin(ξm)^2=1-cos(ξm)^2=(36-9*√3)/52=9*(4-√3)/52
cos(Ξm)>0, sin(Ξm)>0 より、
cos(ξm)*sin(ξm)=3/52*√((16+9*√3)*(4-√3))=3/52*√(37+20*√3)=3*(5+2*√3)/52
よっお、このタむプの面積最倧の正䞉角圢の面積は、
√3/4*f(ξm)^2
=√3/4*((1+2/√3)*cos(ξm)+√3*sin(ξm))^2
=√3/4*((1+2/√3)^2*cos(ξm)^2+2*(1+2/√3)*√3*cos(ξm)*sin(ξm)+(√3)^2*sin(ξm)^2)
=√3/4*((7+4*√3)/3*(16+9*√3)/52+(4+2*√3)*3*(5+2*√3)/52+3*9*(4-√3)/52)
=√3/(4*52*3)*((7+4*√3)*(16+9*√3)+9*(4+2*√3)*(5+2*√3)+81*(4-√3))
=√3/(4*52*3)*(832+208*√3)
=√3*/3*(4+√3)
=(3+4*√3)/3

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

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