成分が複素数の２行２列の行列についての恒等式
２行２列の単位行列を Ｅ とします。
Ｘ、Ｙ、Ｚ を、成分が複素数であるところの
２行２列の行列とします。
ａ、ｂ、ｃ を実数（スカラー）とします。
任意の ａ、ｂ、ｃ について
(ａ^2 +ｂ^2 +ｃ^2)*Ｅ = (ａ*Ｘ +ｂ*Ｙ +ｃ*Ｚ)^2
が成り立つように
Ｘ、Ｙ、Ｚ を【ひとくみ】定めてください。
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これを考えたのはとある高名な物理学者です。
天才。
ａ^2 +ｂ^2 +ｃ^2 を因数分解してしまっています。
ω^3=1を、成分にもつ、行列かな？
私も真似させてもらって
4行4列の単位行列を Ｅとします。
V,W,X,Y,Zを、成分が複素数であるところの
4行4列の行列とします。
ａ、ｂ、ｃ、ｄ、e を実数（スカラー）とします。
任意の ａ、ｂ、ｃ、d、 e について
(ａ^2 )*Ｅ = (ａ*V )^2
(ａ^2 +ｂ^2 )*Ｅ = (ａ*V +ｂ*W )^2
(ａ^2 +ｂ^2 +ｃ^2 )*Ｅ = (ａ*V +ｂ*W +ｃ*X )^2
(ａ^2 +ｂ^2 +ｃ^2 + d^2)*Ｅ = (ａ*V +ｂ*W +ｃ*X + d*Y)^2
(ａ^2 +ｂ^2 +ｃ^2 + d^2 + e^2)*Ｅ = (ａ*V +ｂ*W +ｃ*X + d*Y + e*Z)^2
(ａ^2 +ｂ^2 +ｃ^2 + d^2 + e^2)^k*Ｅ = (ａ*V +ｂ*W +ｃ*X + d*Y + e*Z)^(2*k) (k=2,3,4,･････)
が成り立つように
V,W,X,Y,Zを一組見つけて下さい。
掲示板における行列の表記法がよくわかりませんでしたので、OEISの真似をします。
２行２列の単位正方行列Ｅを
[1,0; 0,1]
と書きます。行ごとの delimiter として ; で表すつもりです。
Ｘ = [0, 1 ;1, 0]
Ｙ = [0,-i ;i, 0]
Ｚ = [1, 0 ;0,-1]
としておくと、任意の実数 a,b,c について
(ａ^2 +ｂ^2 +ｃ^2)*Ｅ = (ａ*Ｘ +ｂ*Ｙ +ｃ*Ｚ)^2
となります。
パウリ行列として知られているようです。
四元数のi,j,kを用いると
a^2+b^2+c^2= - (a*i + b*j + c*k)^2
としていいのかな？
GAIさんによる次のお題につきまして。
(ａ^2 +ｂ^2 +ｃ^2 +ｄ^2)*Ｅ = (ａ*Ｖ +ｂ*Ｗ +ｃ*Ｘ +ｄ*Ｙ)^2
Ｖ = [0,0,0,1; 0,0,1,0; 0,1,0,0; 1,0,0,0]
Ｗ = [0,0,0,-i; 0,0,i,0; 0,-i,0,0; i,0,0,0]
Ｘ = [0,0,1,0; 0,0,0,-1; 1,0,0,0; 0,-1,0,0]
Ｙ = [1,0,0,0; 0,1,0,0; 0,0,-1,0; 0,0,0,-1]
とするとよいようですね。
上は、物理学者ディラックが示したものを、GAIさんの表現にあわせたものです。
ディラックは先述のパウリ行列を拡張しました。
Z=[0,0,i,0;0,0,0,i;-i,0,0,0;0,-i,0,0]
で行けると思います。
パウリとディラックはこんな型で繋がっているんですね。
