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スレッドNo.445

成分が複素数の2行2列の行列についての恒等式

2行2列の単位行列を E とします。
X、Y、Z を、成分が複素数であるところの
2行2列の行列とします。

a、b、c を実数(スカラー)とします。

任意の a、b、c について
(a^2 +b^2 +c^2)*E = (a*X +b*Y +c*Z)^2
が成り立つように
X、Y、Z を【ひとくみ】定めてください。

=======

これを考えたのはとある高名な物理学者です。

天才。
a^2 +b^2 +c^2 を因数分解してしまっています。

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ω^3=1を、成分にもつ、行列かな?

引用して返信編集・削除(未編集)

私も真似させてもらって

4行4列の単位行列を Eとします。
V,W,X,Y,Zを、成分が複素数であるところの
4行4列の行列とします。
a、b、c、d、e を実数(スカラー)とします。

任意の a、b、c、d、 e について
(a^2 )*E = (a*V )^2
(a^2 +b^2 )*E = (a*V +b*W )^2
(a^2 +b^2 +c^2 )*E = (a*V +b*W +c*X )^2
(a^2 +b^2 +c^2 + d^2)*E = (a*V +b*W +c*X + d*Y)^2
(a^2 +b^2 +c^2 + d^2 + e^2)*E = (a*V +b*W +c*X + d*Y + e*Z)^2
(a^2 +b^2 +c^2 + d^2 + e^2)^k*E = (a*V +b*W +c*X + d*Y + e*Z)^(2*k) (k=2,3,4,・・・・・)
が成り立つように
V,W,X,Y,Zを一組見つけて下さい。

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年12月07日 09:06)

掲示板における行列の表記法がよくわかりませんでしたので、OEISの真似をします。

2行2列の単位正方行列Eを
[1,0; 0,1]
と書きます。行ごとの delimiter として ; で表すつもりです。

X = [0, 1 ;1, 0]
ï¼¹ = [0,-i ;i, 0]
Z = [1, 0 ;0,-1]

としておくと、任意の実数 a,b,c について

(a^2 +b^2 +c^2)*E = (a*X +b*Y +c*Z)^2

となります。

パウリ行列として知られているようです。

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四元数のi,j,kを用いると
a^2+b^2+c^2= - (a*i + b*j + c*k)^2
としていいのかな?

引用して返信編集・削除(未編集)

GAIさんによる次のお題につきまして。

(a^2 +b^2 +c^2 +d^2)*E = (a*V +b*W +c*X +d*Y)^2

V = [0,0,0,1; 0,0,1,0; 0,1,0,0; 1,0,0,0]
ï¼· = [0,0,0,-i; 0,0,i,0; 0,-i,0,0; i,0,0,0]
X = [0,0,1,0; 0,0,0,-1; 1,0,0,0; 0,-1,0,0]
ï¼¹ = [1,0,0,0; 0,1,0,0; 0,0,-1,0; 0,0,0,-1]
とするとよいようですね。

上は、物理学者ディラックが示したものを、GAIさんの表現にあわせたものです。
ディラックは先述のパウリ行列を拡張しました。

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Z=[0,0,i,0;0,0,0,i;-i,0,0,0;0,-i,0,0]
で行けると思います。
パウリとディラックはこんな型で繋がっているんですね。

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