😊出会いの泉😊

(1)で解を見つけました。
x^3-8x^2y-2xy^2+7y^3=2023
(x+y)(x^2-9xy+7y^2)=2023
x^2-9xy+7y^2=±1,±7,±17,±119,±289,±2023
4(x^2-9xy+7y^2)=±4,±28,±68,±476,±1156,±8092
(2x-9y)^2-53y^2=±4,±28,±68,±476,±1156,±8092
元の式からx,yの偶奇は異なる
y=2mのとき
(2x-18m)^2-4・53m^2=±4,±28,±68,±476,±1156,±8092
(x-9m)^2-53m^2=±1,±7,±17,±119,±289,±2023
m=1のとき右辺の値に1,7,17,119,289,2023,-1,-7,-17,-119,-289,-2023を足すと
（ただし負になるものを除く）
54,60,70,172,242,2076,52,46,36
平方数は36のみでこのとき(x,y)=(-15,-2)とすれば
「x+yが2023の約数」「与式が正」を満たすが、このとき(与式)=289となり不適
同様にm=2のとき213,219,229,331,501,2235,211,205,195,93だが平方数がなく不適
m=3のとき478,484,494,596,766,2500,476,470,460,358,188で平方数は2500
しかし算出される(x,y)=(5,6),(49,6)はいずれもx+yが2023の約数にならず不可
m=4のとき849,855,865,967,1137,2871,847,841,831,729,559で平方数は841と729
841のときは不適だが729のとき(x,y)=(9,8)ならばx+y=17,x^2-9xy+7y^2=-119
これだと-2023になるから(x,y)=(-9,-8)とすれば2023が得られる。
m=5のとき1326,1332,1342,1444,1614,3348,1324,1318,1308,1206,1036で平方数は1444
このとき適解(x,y)=(7,10)が見つかる。
以上により(x,y)=(-9,-8),(7,10)は解。ただし他に解があるかどうか不明。

(追記)
(2)も解を見つけました。
x^4-9x^3y-9x^2y^2-4xy^3-7y^4
=(x+y)(x^3-10x^2y+xy^2-5y^3)-2y^4=2023
yが小さい値であることを期待して順に代入して調べると

y=1のとき (x+1)(x^3-10x^2+x-5)=2025=3^4×5^2
x+1は2025の約数なのでx=…,-10,-6,-4,-2,2,4,8,14,…（∵x=0は不適）
2≦x≦8のときx^3-10x^2+x-5=(x-2)(x-8)x-15(x-2)-35＜0となり不適
x≧14のとき(x+1)(x^3-10x^2+x-5)=15×{(x-10)(x^2+1)+5}≧15×(4×197+5)＞2025とな
り不適
x≦-6のとき(x+1)(x^3-10x^2+x-5)≧5×(216+360+6+5)＞2025となり不適
-4≦x≦-2のとき(x+1)(x^3-10x^2+x-5)≦3×(64+160+4+5)＜2025となり不適

y=2のとき (x+2)(x^3-20x^2+4x-40)=2055=3×5×137
x+2は2055の約数なのでx=-139,-17,-7,-5,-3,-1,1,3,13,135,…
1≦x≦13のときx^3-20x^2+4x-40=(x-1)(x-19)x-15(x-1)-55＜0となり不適
x≧135のとき(x+2)(x^3-20x^2+4x-40)=137×{(x-135)(x^2+4)+115x^2+500}＞2055となり不適
x≦-7のとき(x+2)(x^3-20x^2+4x-40)≧5×(343+980+28+40)＞2055となり不適
x=-5のとき(x+2)(x^3-20x^2+4x-40)≧3×(125+500+20+40)=2055となり
(x,y)=(-5,2)は解の一つ
x,yの符号を反転したものも解となるので
(x,y)=(5,-2)も解
以上により(x,y)=(-5,2),(5,-2)は解。ただし他に解があるかどうか不明。

3次以上の斉次多項式となっているので、PARIのコマンドにThue 方程式の解を求めるコマンドに
P(x,y)=x^3+a*x^2*y+b*x*y^2+c*y^3=t
を満たす整数(x,y)が
th=thueinit(x^3+a*x^2+b*x+c);
と準備して
thue(th,t)
で尋ねれば、その(x,y)を返してくれる。

そこで遊びでt=2023に因んで多くの解を持ち得る3次関数をa,b,cのパラメータを変えながら
調査したら(a,b,c)=(-8,-2,7)で　6通りの解が存在していた。
こんなものを手作業で発見できるんものかと訝りながら出題した次第でした。
このうちの２組を見事手作業で出してあり、驚きの一言です。
ペル方程式なら解は無限個なのに対し、３次以上の斉次方程式は有限個に限られるのも面白いものです。

(2)の方は後2組（ただし符号の入れ替えによるものです。）<数値は10以内>