似た漸化式から密接な関係が発生する。
数列{a(n)},{b(n)}を
a(0)=0,a(1)=1,a(n)=6*a(n-1)-a(n-2)+2
b(0)=0,b(1)=1,b(n)=6*b(n-1)-b(n-2)
で定義するとn=1,2,3,･･･
に対し
{a(n)};1,8,49,288,1681,･･･
{b(n)};1,6,35,204,1189,･･･
が並んでいく。
この2つの数は次の関係でつながっている。
1+2+3+･･･+a(n)=b(n)^2
即ち
1=1^2
1+2+3+･･･+8=6^2
1+2+3+･････+49=35^2
1+2+3+･･･････+288=204^2
1+2+3+･････････+1681=1189^2
･･･････････
同じく
数列{c(n)},{d(n)}を
c(0)=1,c(1)=1,c(n)=10*c(n-1)-c(n-2)+4 (n=1,2,3,･･･)
d(0)=1,d(1)=11,d(n)=10*d(n-1)-d(n-2) (n=0,1,2,3,･･･)
で定義すると
{c(n)};1,13,133,1321,13081,･･･
{d(n)};1,11,109,1079,10681,･･･
が並んでいく。
この2つの数は次の関係でつながっている。
1^5+2^5+3^5+･･･+c(n)^5=平方数
かつ
c(n)^2+(c(n)+1)^2=(d(n)-1)^2+d(n)^2+(d(n)+1)^2
即ち
1^5=1^2
かつ
1^2+2^2=0^2+1^2+2^2
1^5+2^5+3^5+･･･+13^5=1001^2
かつ
13^2+14^2=10^2+11^2+12^2
1^5+2^5+3^5+･････+133^5=971299^2
かつ
133^2+134^2=108^2+109^2+110^2
1^5+2^5+3^5+･･･････+1321^5=942162299^2
かつ
1321^2+1322^2=1078^2+1079^2+1080^2
1^5+2^5+3^5+･････････+13081^5=913896491101^2
かつ
13081^2+13082^2=10680^2+10681^2+10682^2
･････････････････････････････
と思ってもない関係でつながっている。
