😊出会いの泉😊

プログラムで調べると面白くないので手計算で検討しました。

(1)
a^2+b^2=c^2+d^2=m1, a＜c＜d＜bとして
自然数の平方数の階差は3,5,7,9,11,13,15,…であり3+5+7=15なので
c^2-a^2=3+5+7からa^2=1,c^2=16、b^2-d^2=15からb^2=64,d^2=49つまり
1^2+8^2=4^2+7^2=65がすぐに見つかります。
考え落としがなければこれが最小だと思います。

(2)
(1)と同様に
a^2+b^2=c^2+d^2=e^2+f^2=m2, a＜c＜e＜f＜d＜bと考えますが
mod6から素数は5以上の奇数ですから、
5以上の奇数の平方数の階差24,32,40,48,56,…の1/8すなわち
3,4,5,6,7,…からc^2-a^2=b^2-d^2,e^2-c^2=d^2-f^2となるものを探します。
ただし素数でない奇数も含まれていることにも留意します。
3+4=7→c=9で合成数なので不適
3+4+5=12→a=5,c=11,b=25,d=23となりbが合成数なので不適
※ちなみに両辺の端の数にその隣の数を加算すればa,b,c,dはすぐに出ます。
※3+4+5=12ではa=2+3=5,c=5+6=11,b=12+13=25,d=11+12=23となります。
4+5=9→a=7,c=11,b=19,d=17となるが、間が6,7,8しかないので不適
（多分素数で2通りなら7^2+19^2=11^2+17^2=410が最小だと思います）
3+4+5+6=18→a=5,c=13,b=37,d=35となりdが合成数なので不適
4+5+6=15→a=7,c=13,b=31,d=29
このとき間が7,8,9,10,11,12,13,14なので
14＜7+8＜7+8+9＜14+13＜7+8+9+10＜14+13+12＜7+8+9+10+11
から不適
5+6=11→a=9で合成数なので不適
3+4+5+6+7=25→c=15で不適(同様に+7で終わるものはすべて不適)
3+4+5+6+7+8=33→a=5,c=17,b=67,d=65となりdが合成数なので不適
3+4+5+6+7+8=11+12→b=25で不適(間が9,10しかないのでそもそも無理)
4+5+6+7+8=30→a=7,c=17,b=61,d=59
このとき間が9,10,11,…,29なので
9+10＜29＜9+10+11＜9+10+11+12+13＜28+29＜9+10+11+12+13+14
＜9+10+11+12+13+14+15=27+28+29から
e=31,f=53で成り立つ
つまり7^2+61^2=17^2+59^2=31^2+53^2=3770
これが最小かどうかわからないので5+6+7+8,6+7+8,7+8も要検討
5+6+7+8=26→a=9で不適
6+7+8=21→a=11,c=17,b=43,d=41
このとき間が9,10,11,…,20だが
9+10＜20＜9+10+11＜19+20＜9+10+11+12＜9+10+11+12+13＜18+19+20
＜9+10+11+12+13+14＜17+18+19+20＜9+10+11+12+13+14+15＜16+17+18+19+20
なので不適
7+8=15→a=13,c=17,b=31,d=29
このとき間が9,10,11,12,13,14だが
14＜9+10＜13+14＜9+10+11＜12+13+14なので不適
従って条件を満たす最小解は
考え落としがなければ7^2+61^2=17^2+59^2=31^2+53^2=3770

(3),(4)は大変そうなのでとりあえずパス。

私には当然どこが見落としなのか判断できませんが、
29^2+37^2=23^2+41^2=19^2+43^2(=2210)
があることに、検索プログラムを走らせて発見していたので、これが最小？
と思って出題していました。

らすかるさんならプログラムを組めば一発で発見できるものを、この様に
思考を使って探される姿に感心します。
(1)などの解法は思ってもいませんでした。

なるほど。上記で4+5+6+7+8=30を元にしましたが、
右辺の最大値が30未満のものはさらに検討する必要がありますね。
答えがわかっていますので続きを検討するのはやめますが、
19^2+43^2=23^2+41^2=29^2+37^2ということは
10+11=21
12+13+14=19+20
から
a=9+10=19, c=11+12=23, b=21+22=43, d=20+21=41,
e=14+15=29, f=18+19=37
となるわけですね。
ちなみに、私が書いた3770は2番目に小さい解でした。
それから、プログラムを作ってみましたが
(1)の最小解は1^2+7^2=5^2+5^2=50でした。
(3)は↓ここにあるように635318657ですね。
https://oeis.org/A046881

(1) の m1 は 5 の倍数ですか？
というクイズが……

50 = 1^2 + 7^2 = 5^2 + 5^2
65 = 1^2 + 8^2 = 4^2 + 7^2
85 = 2^2 + 9^2 = 6^2 + 7^2
125 = 2^2 + 11^2 = 5^2 + 10^2
130 = 3^2 + 11^2 = 7^2 + 9^2
145 = 1^2 + 12^2 = 8^2 + 9^2
170 = 1^2 + 13^2 = 7^2 + 11^2
185 = 4^2 + 13^2 = 8^2 + 11^2
205 = 3^2 + 14^2 = 6^2 + 13^2

11^2+10^2=14^2+5^2=221
29^2+11^2=31^2+1^2=962
18^2+13^2=22^2+3^2=493
23^2+15^2=27^2+5^2=754
25^2+19^2=31^2+5^2=986
16^2+11^2=19^2+4^2=377
27^2+23^2=33^2+13^2=1258
23^2+10^2=25^2+2^2=629

何でもありですね。

221,962,493,754,986,377,1258,629はすべて
4n+1型の相異なる素因数を二つ持つ数ですね。
4n+1型の素数は必ず唯一の2平方和で表され、
相異なる二つの4n+1型の素数の積は二通りの2平方和で表されます。
なぜならば
p=a^2+b^2, q=c^2+d^2 のとき
pq=(ad+bc)^2+(ac-bd)^2=(ad-bc)^2+(ac+bd)^2
となるからです。
これを繰り返せば、相異なるm個の4n+1型の素数の積を2平方和で表す方法は
2^(m-1)通りとわかりますね。
例
5×13×17=1105=4^2+33^2=9^2+32^2=12^2+31^2=23^2+24^2

ちなみに上記の数のうち偶数のものは相異なる二つの4n+1型の素数の積の2倍ですが、
p=a^2+b^2 ⇔ 2p=(a+b)^2+(a-b)^2 から、2倍しても表す方法は増えたり減ったりしません。
例えば962=2×13×37は
13=2^2+3^2, 37=1^2+6^2なので
13×37=(2×6+3×1)^2+(2×1-3×6)^2=15^2+16^2から
2×13×37=(15-16)^2+(15+16)^2=1^2+31^2
13×37=(2×6-3×1)^2+(2×1+3×6)^2=9^2+20^2から
2×13×37=(9-20)^2+(9+20)^2=11^2+29^2
のように機械的に算出できます。

> 相異なるm個の4n+1型の素数の積を2平方和で表す方法は2^(m-1)通りとわかりますね。

・そのような方法で作った 2^(m-1) 通りのなかに重複がないこと
・そのような方法で作ったもの以外に平方和に表す方法がないこと
まで示さないと「わかります」とまでは言えないと思いますがどうでしょう。

ヤコビの二平方定理から結果自体は正しいと言えますが、定理の証明が難しいのが難点。
高校範囲内くらいで上の 2 点を示せないものでしょうか？